Написан 1 раздел Экзамена по вышмату 2 курс 1 семестр
This commit is contained in:
Kirill
33
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md
Normal file
33
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1.md
Normal file
@ -0,0 +1,33 @@
|
||||
# Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
|
||||
|
||||
## Числовые ряды
|
||||
|
||||
Числовой ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
|
||||
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$
|
||||
где ($a_n$ ) — общий член ряда.
|
||||
|
||||
## Общий член ряда
|
||||
|
||||
Общий член ряда ( $a_n$ ) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда. Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как $( a_n = ar^n )$, где ( $a$ ) — первый член, а ( $r$ ) — отношение между последующими членами.
|
||||
|
||||
## Сумма ряда
|
||||
|
||||
Сумма ряда ( $S$ ) — это предел частичных сумм ( $S_n$ ):
|
||||
$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$
|
||||
где ( $S_n$ = $\sum_{k=1}^{n}a_k$).
|
||||
|
||||
## Необходимое условие сходимости ряда
|
||||
|
||||
Необходимое условие сходимости ряда заключается в том, что если ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$) сходится, то его общий член ( $a_n$ ) должен стремиться к нулю при ( $n \to \infty$ ):
|
||||
$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
|
||||
|
||||
Однако это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ) расходится, несмотря на то, что его общий член ( $\frac{1}{n}$ ) стремится к нулю.
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Геометрический ряд**:
|
||||
$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$
|
||||
Сходится, если ( $|r| < 1$ ).
|
||||
|
||||
2. **Гармонический ряд**:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
|
||||
Расходится.
|
||||
50
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md
Normal file
50
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md
Normal file
@ -0,0 +1,50 @@
|
||||
# Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. Они играют важную роль в математике и её приложениях.
|
||||
|
||||
## Функциональные ряды
|
||||
|
||||
Функциональный ряд — это ряд вида:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$
|
||||
где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.
|
||||
|
||||
## Частичная сумма и сумма функционального ряда
|
||||
|
||||
Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда:
|
||||
$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$
|
||||
|
||||
Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$:
|
||||
$S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$
|
||||
|
||||
## Сходимость функционального ряда
|
||||
|
||||
Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ сходится в точке $x_0$, если существует конечный предел:
|
||||
$\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)$
|
||||
|
||||
## Область сходимости функционального ряда
|
||||
|
||||
Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек $x$, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
|
||||
|
||||
## Признаки сходимости функциональных рядов
|
||||
|
||||
### Признак Вейерштрасса
|
||||
|
||||
Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
|
||||
|
||||
#### Формулировка признака Вейерштрасса
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
|
||||
$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md
Normal file
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md
Normal file
@ -0,0 +1,45 @@
|
||||
# Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$.
|
||||
|
||||
## Равномерная сходимость функциональных рядов
|
||||
|
||||
Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ называется равномерно сходящимся на множестве $D$, если для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство:
|
||||
$|S(x)-S_n(x)|<\epsilon$
|
||||
где $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — сумма ряда, а $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ — частичная сумма ряда.
|
||||
|
||||
## Связь между сходимостью и равномерной сходимостью
|
||||
|
||||
Равномерная сходимость функционального ряда влечет за собой его обычную сходимость, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования и дифференцирования.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
## Признак Вейерштрасса
|
||||
|
||||
Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
|
||||
|
||||
### Формулировка признака Вейерштрасса
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
|
||||
$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md
Normal file
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md
Normal file
@ -0,0 +1,45 @@
|
||||
# Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Признак Вейерштрасса является важным критерием для определения равномерной сходимости функциональных рядов. Он позволяет определить, сходится ли функциональный ряд равномерно на заданном множестве, основываясь на сходимости ряда из мажорант.
|
||||
|
||||
**Мажоранта** (от majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точная верхняя и нижняя границы").
|
||||
|
||||
## Признак Вейерштрасса
|
||||
|
||||
### Формулировка признака Вейерштрасса
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
|
||||
$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
|
||||
|
||||
### Доказательство признака Вейерштрасса
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum_{k=1}^{n}M_k$.
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
|
||||
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
|
||||
$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}M_k=T_m-T_n$
|
||||
|
||||
Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
62
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md
Normal file
62
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md
Normal file
@ -0,0 +1,62 @@
|
||||
# Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы ряда. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда.
|
||||
|
||||
## Свойства равномерно сходящихся рядов
|
||||
|
||||
### Непрерывность суммы ряда
|
||||
|
||||
Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ непрерывны на $D$, то сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ также непрерывна на $D$.
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Пусть $\epsilon>0$. По определению равномерной сходимости, существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется:
|
||||
$|S(x)-S_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}$
|
||||
|
||||
Поскольку $f_n(x)$ непрерывны, то и частичные суммы $S_n(x)$ непрерывны. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется:
|
||||
$|S_n(x)-S_n(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}$
|
||||
|
||||
Тогда:
|
||||
$|S(x)-S(x_0)|\leq|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n(x_0)|+|S_n(x_0)-S(x_0)|<\epsilon$
|
||||
|
||||
Таким образом, $S(x)$ непрерывна на $D$.
|
||||
|
||||
### Почленное интегрирование
|
||||
|
||||
Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно:
|
||||
$\int_{D}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд равномерно сходится, то:
|
||||
$\int_{D}S(x)dx=\int_{D}\lim_{n\to\infty}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{D}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{D}f_k(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
|
||||
|
||||
### Почленное дифференцирование
|
||||
|
||||
Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ также равномерно сходится на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно:
|
||||
$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то:
|
||||
$S'(x)=\lim_{n\to\infty}S_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f_k'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывна.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывна.
|
||||
60
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md
Normal file
60
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md
Normal file
@ -0,0 +1,60 @@
|
||||
# Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная.
|
||||
|
||||
## Степенной ряд
|
||||
|
||||
Степенной ряд имеет вид:
|
||||
$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
|
||||
где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная.
|
||||
|
||||
## Радиус сходимости
|
||||
|
||||
Радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
|
||||
|
||||
## Интервал сходимости
|
||||
|
||||
Интервал сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
|
||||
|
||||
## Промежуток сходимости
|
||||
|
||||
Промежуток сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$.
|
||||
|
||||
## Первая теорема Абеля
|
||||
|
||||
Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
### Формулировка первой теоремы Абеля
|
||||
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется:
|
||||
$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$
|
||||
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
|
||||
$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$
|
||||
|
||||
Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
|
||||
61
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md
Normal file
61
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15.md
Normal file
@ -0,0 +1,61 @@
|
||||
# Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема Абеля.
|
||||
|
||||
## Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда
|
||||
|
||||
### Формулировка теоремы
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$. Тогда:
|
||||
1. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ абсолютно сходится для всех $|x|<R$.
|
||||
2. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
1. **Абсолютная сходимость**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$. Поскольку $|x|<R$, то $|a_nx^n|\leq|a_n|R^n$. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|R^n$ сходится, так как $R$ — радиус сходимости. Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ сходится, что означает абсолютную сходимость ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ для всех $|x|<R$.
|
||||
|
||||
2. **Равномерная сходимость**:
|
||||
Пусть $[a,b]\subset(-R,R)$. Тогда существует такое $r<R$, что $[a,b]\subset[-r,r]$. Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n$. Поскольку $r<R$, то ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n$ сходится. Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на $[a,b]$ по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
## Непрерывность суммы степенного ряда
|
||||
|
||||
Если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$, то его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ непрерывна на этом интервале.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то его сумма $S(x)$ непрерывна на $(-R,R)$ как равномерный предел непрерывных функций.
|
||||
|
||||
## Вторая теорема Абеля
|
||||
|
||||
Вторая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
### Формулировка второй теоремы Абеля
|
||||
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется:
|
||||
$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$
|
||||
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
|
||||
$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$
|
||||
|
||||
Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ непрерывна на всей числовой прямой.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-1,1)$, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ непрерывна на интервале $(-1,1)$.
|
||||
47
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md
Normal file
47
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16.md
Normal file
@ -0,0 +1,47 @@
|
||||
# Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$.
|
||||
|
||||
## Формула Коши-Адамара
|
||||
|
||||
Формула Коши-Адамара позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
|
||||
|
||||
## Формула Даламбера
|
||||
|
||||
Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
|
||||
$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|=0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$.
|
||||
|
||||
## Формула Коши
|
||||
|
||||
Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
|
||||
$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}=1$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
|
||||
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md
Normal file
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17.md
Normal file
@ -0,0 +1,45 @@
|
||||
# Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов
|
||||
|
||||
## Почленное интегрирование степенных рядов
|
||||
|
||||
### Теорема о почленном интегрировании
|
||||
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$:
|
||||
$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд:
|
||||
$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\int_{a}^{b}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\int_{a}^{b}a_nx^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно интегрируем ряд на интервале $[0,1]$:
|
||||
$\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)}=e-1$
|
||||
|
||||
## Почленное дифференцирование степенных рядов
|
||||
|
||||
### Теорема о почленном дифференцировании
|
||||
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале:
|
||||
$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nx^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд:
|
||||
$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\left(a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно дифференцируем ряд:
|
||||
$\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$
|
||||
61
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md
Normal file
61
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18.md
Normal file
@ -0,0 +1,61 @@
|
||||
# Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
|
||||
|
||||
## Разложение функций в степенные ряды
|
||||
|
||||
Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
|
||||
|
||||
## Ряды Тейлора и Маклорена
|
||||
|
||||
### Ряд Тейлора
|
||||
|
||||
Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
|
||||
|
||||
где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
|
||||
|
||||
### Ряд Маклорена
|
||||
|
||||
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$:
|
||||
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$.
|
||||
|
||||
Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$:
|
||||
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
|
||||
|
||||
## Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
|
||||
|
||||
### Теорема
|
||||
|
||||
Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется:
|
||||
$|f^{(n)}(x)|\leq M$
|
||||
|
||||
для всех $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда функция $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора:
|
||||
$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
|
||||
|
||||
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
|
||||
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
|
||||
|
||||
где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
|
||||
|
||||
Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq M$, то:
|
||||
$|R_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$
|
||||
|
||||
Поскольку $\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\to0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Функция $f(x)=\sin(x)$**:
|
||||
Ряд Маклорена для $f(x)=\sin(x)$:
|
||||
$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
|
||||
|
||||
2. **Функция $f(x)=\cos(x)$**:
|
||||
Ряд Маклорена для $f(x)=\cos(x)$:
|
||||
$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
|
||||
62
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md
Normal file
62
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19.md
Normal file
@ -0,0 +1,62 @@
|
||||
# Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид:
|
||||
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$
|
||||
|
||||
## Разложение элементарных функций
|
||||
|
||||
### Экспоненциальная функция
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=e^x$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
|
||||
$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Вычислим производные функции $f(x)=e^x$:
|
||||
$f^{(n)}(x)=e^x$
|
||||
|
||||
Таким образом, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
|
||||
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$
|
||||
|
||||
### Синус
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\sin(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
|
||||
$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Вычислим производные функции $f(x)=\sin(x)$:
|
||||
$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
|
||||
$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
|
||||
|
||||
Таким образом, $f^{(2n)}(0)=0$ и $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
|
||||
$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
|
||||
|
||||
### Косинус
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\cos(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
|
||||
$$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Вычислим производные функции $f(x)=\cos(x)$:
|
||||
$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
|
||||
$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
|
||||
|
||||
Таким образом, $f^{(2n)}(0)=(-1)^n$ и $f^{(2n+1)}(0)=0$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
|
||||
$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
|
||||
|
||||
### Логарифм
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\ln(1+x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
|
||||
$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Вычислим производные функции $f(x)=\ln(1+x)$:
|
||||
$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}$
|
||||
|
||||
Таким образом, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
|
||||
$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$
|
||||
54
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md
Normal file
54
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2.md
Normal file
@ -0,0 +1,54 @@
|
||||
# Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость
|
||||
|
||||
## Гармонический ряд
|
||||
|
||||
Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
|
||||
|
||||
### Сходимость гармонического ряда
|
||||
|
||||
Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:
|
||||
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$
|
||||
|
||||
Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как:
|
||||
$S_n \approx \ln(n) + \gamma$
|
||||
где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
|
||||
|
||||
Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда.
|
||||
|
||||
## Обобщенный гармонический ряд
|
||||
|
||||
Обобщенный гармонический ряд имеет вид:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$
|
||||
где $p$ — положительное число.
|
||||
|
||||
### Сходимость обобщенного гармонического ряда
|
||||
|
||||
Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$:
|
||||
- Если $p > 1$, то ряд сходится.
|
||||
- Если $p \leq 1$, то ряд расходится.
|
||||
|
||||
Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл:
|
||||
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$
|
||||
|
||||
Для $p > 1$:
|
||||
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}$
|
||||
|
||||
Для $p \leq 1$:
|
||||
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ расходится.
|
||||
|
||||
Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Гармонический ряд**:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
|
||||
Расходится.
|
||||
|
||||
2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
|
||||
Сходится, так как $p = 2 > 1$.
|
||||
|
||||
3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
|
||||
Расходится, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.
|
||||
60
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md
Normal file
60
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20.md
Normal file
@ -0,0 +1,60 @@
|
||||
# Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Тригонометрический ряд Фурье — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
||||
|
||||
## Тригонометрический ряд Фурье
|
||||
|
||||
Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$
|
||||
|
||||
где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье.
|
||||
|
||||
## Коэффициенты Фурье
|
||||
|
||||
Коэффициенты Фурье $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)dx=0$
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$
|
||||
|
||||
## Достаточное условие разложимости в ряд Фурье
|
||||
|
||||
### Теорема
|
||||
|
||||
Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале $[-\pi,\pi]$. Тогда $f(x)$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция $f(x)$ кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале $[-\pi,\pi]$, то её ряд Фурье сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin(nx)dx=0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
|
||||
|
||||
2. **Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
|
||||
42
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md
Normal file
42
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21.md
Normal file
@ -0,0 +1,42 @@
|
||||
# Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
||||
## Четные функции
|
||||
|
||||
Четная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=f(-x)$. Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусоидальные члены:
|
||||
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$
|
||||
|
||||
где коэффициенты $a_n$ определяются следующими формулами:
|
||||
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим четную функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
|
||||
|
||||
## Нечетные функции
|
||||
|
||||
Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=-f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены:
|
||||
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)$
|
||||
|
||||
где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами:
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим нечетную функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$
|
||||
41
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md
Normal file
41
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22.md
Normal file
@ -0,0 +1,41 @@
|
||||
# Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
||||
|
||||
## Разложение функций произвольного периода
|
||||
|
||||
Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда ряд Фурье для функции $f(x)$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$
|
||||
|
||||
где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
|
||||
$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$
|
||||
$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
|
||||
$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
### Пример 1: Функция $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0$
|
||||
$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
|
||||
$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
|
||||
|
||||
### Пример 2: Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L$
|
||||
$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
|
||||
$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
|
||||
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md
Normal file
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23.md
Normal file
@ -0,0 +1,45 @@
|
||||
# Разложение в ряд Фурье непериодической функции
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Ряд Фурье обычно используется для разложения периодических функций. Однако, для непериодических функций можно использовать интегральное преобразование Фурье.
|
||||
|
||||
## Интегральное преобразование Фурье
|
||||
|
||||
Интегральное преобразование Фурье функции $f(x)$ определяется следующим образом:
|
||||
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$
|
||||
|
||||
где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$.
|
||||
|
||||
## Обратное преобразование Фурье
|
||||
|
||||
Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$:
|
||||
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega$
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
### Пример 1: Функция $f(x)=e^{-|x|}$
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-|x|}$.
|
||||
|
||||
Вычислим преобразование Фурье:
|
||||
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-i\omega x}dx=\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\omega x}dx$
|
||||
|
||||
Рассчитаем интегралы:
|
||||
$F(\omega)=\left[\frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega}\right]_{-\infty}^{0}+\left[\frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+\omega^2}$
|
||||
|
||||
Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
|
||||
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^2}e^{i\omega x}d\omega$
|
||||
|
||||
### Пример 2: Функция $f(x)=e^{-x^2}$
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-x^2}$.
|
||||
|
||||
Вычислим преобразование Фурье:
|
||||
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-i\omega x}dx$
|
||||
|
||||
Используем известный результат:
|
||||
$F(\omega)=\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
|
||||
|
||||
Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
|
||||
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}e^{i\omega x}d\omega$
|
||||
46
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md
Normal file
46
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md
Normal file
@ -0,0 +1,46 @@
|
||||
# Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения
|
||||
|
||||
## Ряды с неотрицательными членами
|
||||
|
||||
Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде:
|
||||
$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $
|
||||
где $ a_n \geq 0 $ для всех $ n $.
|
||||
|
||||
## Признаки сравнения
|
||||
|
||||
Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна.
|
||||
|
||||
### Первый признак сравнения
|
||||
|
||||
Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряда с неотрицательными членами, и пусть $0 \leq a_n \leq b_n$ для всех $n$.
|
||||
|
||||
- Если ряд $\sum b_n$ сходится, то и ряд $\sum a_n$ сходится.
|
||||
- Если ряд $\sum a_n$ расходится, то и ряд $\sum b_n$ расходится.
|
||||
|
||||
### Второй признак сравнения (предельный признак сравнения)
|
||||
|
||||
Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$
|
||||
|
||||
- Если $0 < L < \infty$, то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.
|
||||
- Если $L = 0$ и ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n$ также сходится.
|
||||
- Если $L = \infty$ и ряд $\sum b_n$ расходится, то ряд $\sum a_n$ также расходится.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Сравнение с гармоническим рядом**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Сравним его с гармоническим рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, который расходится.
|
||||
|
||||
Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения).
|
||||
|
||||
2. **Предельный признак сравнения**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$.
|
||||
|
||||
Сравним его с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$.
|
||||
|
||||
Вычислим предел:
|
||||
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$$
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac{3}{2} > 1$), то и ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ сходится (по второму признаку сравнения).
|
||||
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md
Normal file
45
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md
Normal file
@ -0,0 +1,45 @@
|
||||
# Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.
|
||||
|
||||
## Признак Даламбера
|
||||
|
||||
Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.
|
||||
|
||||
Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$
|
||||
|
||||
- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
|
||||
- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
|
||||
- Если $L = 1$, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$.
|
||||
|
||||
Вычислим предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$
|
||||
|
||||
Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ сходится по признаку Даламбера.
|
||||
|
||||
## Признак Коши (корневой признак)
|
||||
|
||||
Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.
|
||||
|
||||
Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$
|
||||
|
||||
- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
|
||||
- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
|
||||
- Если $L = 1$, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$.
|
||||
|
||||
Вычислим предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty$
|
||||
|
||||
Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$ расходится по признаку Коши.
|
||||
48
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md
Normal file
48
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md
Normal file
@ -0,0 +1,48 @@
|
||||
# Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость знакоположительных рядов, сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.
|
||||
|
||||
## Формулировка интегрального признака
|
||||
|
||||
Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$
|
||||
|
||||
Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл:
|
||||
$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$
|
||||
|
||||
## Доказательство интегрального признака
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n=\int_{1}^{n}f(x)dx$.
|
||||
|
||||
Поскольку $f(x)$ убывает, можно записать неравенства:
|
||||
$f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k)$
|
||||
|
||||
Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем:
|
||||
$\sum_{k=2}^{n}f(k)\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$
|
||||
|
||||
Или, что эквивалентно:
|
||||
$S_n-f(1)\leq I_n\leq S_{n-1}$
|
||||
|
||||
Если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
|
||||
|
||||
Аналогично, если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Гармонический ряд**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
|
||||
$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}=\infty$
|
||||
|
||||
Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ также расходится.
|
||||
|
||||
2. **Обобщенный гармонический ряд**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$, где $p>1$.
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
|
||||
$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\left[-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}$
|
||||
|
||||
Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ также сходится при $p>1$.
|
||||
40
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md
Normal file
40
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md
Normal file
@ -0,0 +1,40 @@
|
||||
# Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.
|
||||
|
||||
## Признак Лейбница
|
||||
|
||||
Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$
|
||||
где $b_n$ — положительные числа.
|
||||
|
||||
Признак Лейбница утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
|
||||
1. $b_n$ убывает, то есть $b_{n+1}\leq b_n$ для всех $n$.
|
||||
2. $\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Проверим условия признака Лейбница:
|
||||
1. $b_n=\frac{1}{n}$ убывает, так как $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ для всех $n$.
|
||||
2. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница.
|
||||
|
||||
## Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда
|
||||
|
||||
Для сходящегося знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
|
||||
$|R_n|=|S-S_n|\leq b_{n+1}$
|
||||
где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Оценка остатка после $n$ членов:
|
||||
$|R_n|\leq\frac{1}{n+1}$
|
||||
|
||||
Таким образом, остаток ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.
|
||||
43
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md
Normal file
43
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md
Normal file
@ -0,0 +1,43 @@
|
||||
# Знакопеременные ряды. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Знакопеременные ряды — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость.
|
||||
|
||||
## Абсолютная сходимость
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится.
|
||||
|
||||
## Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда
|
||||
|
||||
Теорема Коши утверждает, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
|
||||
|
||||
### Формулировка теоремы
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — абсолютно сходящийся ряд, то есть $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится. Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ также сходится.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений $T_n=\sum_{k=1}^{n}|a_k|$.
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
|
||||
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m-S_n$ для $m>n$:
|
||||
$|S_m-S_n|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|=T_m-T_n$
|
||||
|
||||
Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, сходится.
|
||||
|
||||
Таким образом, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница.
|
||||
|
||||
39
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md
Normal file
39
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md
Normal file
@ -0,0 +1,39 @@
|
||||
# Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Абсолютно сходящиеся ряды — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств.
|
||||
|
||||
## Определение абсолютной сходимости
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится.
|
||||
|
||||
## Свойства абсолютно сходящихся рядов
|
||||
|
||||
### 1. Абсолютная сходимость влечет за собой обычную сходимость
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. Это следует из теоремы Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
|
||||
|
||||
### 2. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то любая перестановка его членов также сходится и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно).
|
||||
|
||||
### 3. Линейность абсолютной сходимости
|
||||
|
||||
Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их линейная комбинация $\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)$ также абсолютно сходится для любых констант $\alpha$ и $\beta$.
|
||||
|
||||
### 4. Произведение абсолютно сходящихся рядов
|
||||
|
||||
Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их произведение $\sum_{n=1}^{\infty}c_n$, где $c_n=\sum_{k=1}^{n}a_kb_{n-k}$, также абсолютно сходится.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница.
|
||||
60
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md
Normal file
60
2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md
Normal file
@ -0,0 +1,60 @@
|
||||
# Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Условно сходящиеся ряды — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости.
|
||||
|
||||
## Условно сходящиеся ряды
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ расходится.
|
||||
|
||||
## Признак Дирихле
|
||||
|
||||
Признак Дирихле позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
|
||||
|
||||
### Формулировка признака Дирихле
|
||||
|
||||
Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
|
||||
1. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$.
|
||||
2. $b_n$ монотонно стремится к нулю, то есть $b_n\to0$ и $b_n\geq b_{n+1}$ для всех $n$.
|
||||
|
||||
Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}$ ограничены, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно стремится к нулю. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Дирихле.
|
||||
|
||||
## Признак Абеля
|
||||
|
||||
Признак Абеля является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
|
||||
|
||||
### Формулировка признака Абеля
|
||||
|
||||
Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
|
||||
1. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится.
|
||||
2. $b_n$ монотонно ограничена, то есть существует такое число $M$, что $|b_n|\leq M$ для всех $n$, и $b_n$ монотонна.
|
||||
|
||||
Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}$ сходится по признаку Лейбница. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно ограничена. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Абеля.
|
||||
|
||||
## Теорема Римана
|
||||
|
||||
Теорема Римана утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
|
||||
|
||||
### Формулировка теоремы Римана
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — условно сходящийся ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд сходится к любому заранее заданному числу или расходится.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Этот ряд условно сходится. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
|
||||
|
||||
46
2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md
Normal file
46
2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md
Normal file
@ -0,0 +1,46 @@
|
||||
Тема 1. Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье.
|
||||
1. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1|Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. ]]
|
||||
2. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2|Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость. ]]
|
||||
3. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3| Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. ]]
|
||||
4. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4|Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов. ]]
|
||||
5. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5|Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов. ]]
|
||||
6. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6|Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.]]
|
||||
7. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7|Знакопеременные ряды. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.]]
|
||||
8. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8|Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства.]]
|
||||
9. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9|Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана.]]
|
||||
10. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10|Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.]]
|
||||
11. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11|Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда.]]
|
||||
12. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12|Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.]]
|
||||
13. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13|Свойства равномерно сходящихся рядов. Непрерывность суммы ряда. Теоремы о почленном интегрировании и почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда.]]
|
||||
14. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14|Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости.]]
|
||||
15. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/15|Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы степенного ряда. Вторая теорема Абеля.]]
|
||||
16. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/16|Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.]]
|
||||
17. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/17|Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.]]
|
||||
18. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18|Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.]]
|
||||
19. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/19|Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.]]
|
||||
20. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/20|Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости 2pi-периодической функции в ряд Фурье.]]
|
||||
21. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21|Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.]]
|
||||
22. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22|Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.]]
|
||||
23. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23|Разложение в ряд Фурье непериодической функции.]]
|
||||
Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
|
||||
24. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24|Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.]]
|
||||
25. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25|Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.]]
|
||||
26. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26|Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах: сведение двойного интеграла к повторному.]]
|
||||
27. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/27|Криволинейные координаты на плоскости. Выражение площади в криволинейных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.]]
|
||||
28. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/28|Тройной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.]]
|
||||
29. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/29|Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах.]]
|
||||
30. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/30|Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.]]
|
||||
31. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/31|Геометрические приложения двойных и тройных интегралов: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел, вычисление площади поверхности.]]
|
||||
32. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/32|Физические приложения двойных и тройных интегралов: вычисление массы, координат центра тяжести, статических моментов тела в пространстве и плоской пластинки, моментов инерции тела в пространстве.]]
|
||||
33. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/33|Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода. Криволинейные интегралы первого рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление криволинейного интеграла первого рода.]]
|
||||
34. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/34|Приложения криволинейных интегралов первого рода.]]
|
||||
35. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/35|Криволинейные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.]]
|
||||
36. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/36|Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла.]]
|
||||
37. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/37|Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Полный дифференциал. Восстановление функции по ее полному дифференциалу.]]
|
||||
38. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/38|Приложения криволинейных интегралов второго рода.]]
|
||||
39. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/39|Поверхностные интегралы первого рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла первого рода.]]
|
||||
40. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/40|Приложения поверхностных интегралов первого рода.]]
|
||||
41. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41|Поверхностные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.]]
|
||||
42. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42|Формула Остроградского-Гаусса.]]
|
||||
43. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43|Формула Стокса.]]
|
||||
44. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44|Приложения поверхностных интегралов второго рода.]]
|
||||
Reference in New Issue
Block a user