Files

2.9 KiB
Raw Blame History

Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения

Ряды с неотрицательными членами

Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде: \sum_{n=1}^{\infty} a_n где a_n \geq 0 для всех n.

Признаки сравнения

Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна.

Первый признак сравнения

Пусть \sum a_n и \sum b_n — два ряда с неотрицательными членами, и пусть 0 \leq a_n \leq b_n для всех n.

  • Если ряд \sum b_n сходится, то и ряд \sum a_n сходится.
  • Если ряд \sum a_n расходится, то и ряд \sum b_n расходится.

Второй признак сравнения (предельный признак сравнения)

Пусть \sum a_n и \sum b_n — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел: \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L

  • Если 0 < L < \infty, то ряды \sum a_n и \sum b_n либо оба сходятся, либо оба расходятся.
  • Если L = 0 и ряд \sum b_n сходится, то ряд \sum a_n также сходится.
  • Если L = \infty и ряд \sum b_n расходится, то ряд \sum a_n также расходится.

Примеры

  1. Сравнение с гармоническим рядом: Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}.

Сравним его с гармоническим рядом \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}, который расходится.

Поскольку \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n} для всех n, и гармонический ряд расходится, то ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} сходится (по первому признаку сравнения).

  1. Предельный признак сравнения: Рассмотрим ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}.

Сравним его с рядом \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}.

Вычислим предел:

\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0

Поскольку ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}} сходится (так как p = \frac{3}{2} > 1), то и ряд \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}} сходится (по второму признаку сравнения).