2.1 KiB
Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
Введение
Степенной ряд — это ряд вида \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n, где a_n — коэффициенты, а x — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число R, такое что ряд сходится для всех |x|<R и расходится для всех |x|>R.
Формула Коши-Адамара
Формула Коши-Адамара позволяет найти радиус сходимости степенного ряда \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n с помощью предела:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
Пример
Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.
Найдем радиус сходимости:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty
Таким образом, ряд сходится для всех x\in\mathbb{R}.
Формула Даламбера
Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n с помощью предела:
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
Пример
Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^{\infty}n!x^n.
Найдем радиус сходимости:
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|=0
Таким образом, ряд сходится только в точке x=0.
Формула Коши
Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n с помощью предела:
R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}
Пример
Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^{\infty}x^n.
Найдем радиус сходимости:
R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}=1
Таким образом, ряд сходится для всех |x|<1 и расходится для всех |x|>1.