3.6 KiB
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда
Введение
Признак Вейерштрасса является важным критерием для определения равномерной сходимости функциональных рядов. Он позволяет определить, сходится ли функциональный ряд равномерно на заданном множестве, основываясь на сходимости ряда из мажорант.
**Мажоранта** (от majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точная верхняя и нижняя границы").
Признак Вейерштрасса
Формулировка признака Вейерштрасса
Пусть \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел \sum_{n=1}^{\infty}M_n, такой что:
|f_n(x)|\leq M_n для всех x в области D и для всех n.
Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}M_n сходится, то ряд \sum_{n=1}^{\infty}f_n(x) равномерно сходится на D.
Доказательство признака Вейерштрасса
Рассмотрим частичные суммы ряда S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x) и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант T_n=\sum_{k=1}^{n}M_k.
Поскольку ряд \sum_{n=1}^{\infty}M_n сходится, то последовательность T_n ограничена. Это означает, что существует такое число M, что T_n\leq M для всех n.
Теперь рассмотрим разность частичных сумм S_m(x)-S_n(x) для m>n:
|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}M_k=T_m-T_n
Поскольку последовательность T_n ограничена, то и разность T_m-T_n ограничена. Следовательно, последовательность S_n(x) является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на D.
Примеры
- Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}.
Оценим |f_n(x)|:
|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}
Ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=2>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
- Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}.
Оценим |f_n(x)|:
|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}
Ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=3>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3} равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.