2.3 KiB
Разложение в ряд Фурье непериодической функции
Введение
Ряд Фурье обычно используется для разложения периодических функций. Однако, для непериодических функций можно использовать интегральное преобразование Фурье.
Интегральное преобразование Фурье
Интегральное преобразование Фурье функции f(x) определяется следующим образом:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx
где F(\omega) — преобразование Фурье функции f(x).
Обратное преобразование Фурье
Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию f(x) из её преобразования Фурье F(\omega):
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega
Примеры
Пример 1: Функция f(x)=e^{-|x|}
Рассмотрим функцию f(x)=e^{-|x|}.
Вычислим преобразование Фурье:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-i\omega x}dx=\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\omega x}dx
Рассчитаем интегралы:
F(\omega)=\left[\frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega}\right]_{-\infty}^{0}+\left[\frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+\omega^2}
Теперь восстановим функцию f(x) с помощью обратного преобразования Фурье:
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^2}e^{i\omega x}d\omega
Пример 2: Функция f(x)=e^{-x^2}
Рассмотрим функцию f(x)=e^{-x^2}.
Вычислим преобразование Фурье:
F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-i\omega x}dx
Используем известный результат:
F(\omega)=\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}
Теперь восстановим функцию f(x) с помощью обратного преобразования Фурье:
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}e^{i\omega x}d\omega