3.3 KiB
Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства
Введение
Абсолютно сходящиеся ряды — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств.
Определение абсолютной сходимости
Ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n называется абсолютно сходящимся, если ряд \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| сходится.
Свойства абсолютно сходящихся рядов
1. Абсолютная сходимость влечет за собой обычную сходимость
Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. Это следует из теоремы Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
2. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда
Если ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n абсолютно сходится, то любая перестановка его членов также сходится и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно).
3. Линейность абсолютной сходимости
Если ряды \sum_{n=1}^{\infty}a_n и \sum_{n=1}^{\infty}b_n абсолютно сходятся, то их линейная комбинация \sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n) также абсолютно сходится для любых констант \alpha и \beta.
4. Произведение абсолютно сходящихся рядов
Если ряды \sum_{n=1}^{\infty}a_n и \sum_{n=1}^{\infty}b_n абсолютно сходятся, то их произведение \sum_{n=1}^{\infty}c_n, где c_n=\sum_{k=1}^{n}a_kb_{n-k}, также абсолютно сходится.
Примеры
- Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}.
Ряд из абсолютных значений \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=2>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2} абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
- Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}.
Ряд из абсолютных значений \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n} не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница.