3.9 KiB
Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости.
Введение
Степенной ряд — это ряд вида \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n, где a_n — коэффициенты, а x — переменная.
Степенной ряд
Степенной ряд имеет вид:
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
где a_n — коэффициенты, а x — переменная.
Радиус сходимости
Радиус сходимости степенного ряда \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n — это число R, такое что ряд сходится для всех |x|<R и расходится для всех |x|>R. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}
Интервал сходимости
Интервал сходимости степенного ряда — это интервал (-R,R), где R — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
Промежуток сходимости
Промежуток сходимости степенного ряда — это интервал (-R,R), включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов a_n.
Первая теорема Абеля
Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n сходится в точке x=R (где R — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале [0,R].
Формулировка первой теоремы Абеля
Пусть степенной ряд \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n сходится в точке x=R. Тогда ряд сходится равномерно на интервале [0,R].
Доказательство
Рассмотрим частичные суммы ряда S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k. Поскольку ряд сходится в точке x=R, то для любого \epsilon>0 существует такое число N(\epsilon), что для всех n\geq N(\epsilon) выполняется:
|S(R)-S_n(R)|<\epsilon
Теперь рассмотрим разность частичных сумм S_m(x)-S_n(x) для m>n:
|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|
Поскольку ряд сходится в точке x=R, то и разность \sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k| ограничена. Следовательно, последовательность S_n(x) является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале [0,R].
Примеры
- Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}.
Найдем радиус сходимости:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty
Таким образом, ряд сходится для всех x\in\mathbb{R}.
- Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=0}^{\infty}x^n.
Найдем радиус сходимости:
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1
Таким образом, ряд сходится для всех |x|<1 и расходится для всех |x|>1.