Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость

Гармонический ряд

Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

Сходимость гармонического ряда

Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}

Для больших значений n, частичные суммы S_n можно аппроксимировать как: S_n \approx \ln(n) + \gamma где \gamma — постоянная Эйлера-Маскерони.

Поскольку \ln(n) \to \infty при n \to \infty, то и S_n \to \infty, что означает расходимость гармонического ряда.

Обобщенный гармонический ряд

Обобщенный гармонический ряд имеет вид: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} где p — положительное число.

Сходимость обобщенного гармонического ряда

Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения p:

Если p > 1, то ряд сходится.
Если p \leq 1, то ряд расходится.

Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл: \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx

Для p > 1: \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}

Для p \leq 1: \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx расходится.

Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p \leq 1.

Примеры

Гармонический ряд: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} Расходится.
Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} Сходится, так как p = 2 > 1.
Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}} Расходится, так как p = \frac{1}{2} \leq 1.

2.6 KiB Raw Blame History Unescape Escape