2.3 KiB
Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
Введение
Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
Разложение функций произвольного периода
Пусть f(x) — функция с периодом T. Тогда ряд Фурье для функции f(x) имеет вид:
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)
где коэффициенты a_n и b_n определяются следующими формулами:
a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx
a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx
b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx
Примеры
Пример 1: Функция f(x)=x на интервале [-L,L]
Рассмотрим функцию f(x)=x на интервале [-L,L]. Период функции T=2L.
Вычислим коэффициенты Фурье:
a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0
a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0
b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}
Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=x имеет вид:
f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)
Пример 2: Функция f(x)=|x| на интервале [-L,L]
Рассмотрим функцию f(x)=|x| на интервале [-L,L]. Период функции T=2L.
Вычислим коэффициенты Фурье:
a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L
a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}
b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0
Таким образом, ряд Фурье для функции f(x)=|x| имеет вид:
f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)