# Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода

## Введение

Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.

## Разложение функций произвольного периода

Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда ряд Фурье для функции $f(x)$ имеет вид:
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$

где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$
$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$

## Примеры

### Пример 1: Функция $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$

Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.

Вычислим коэффициенты Фурье:
$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0$
$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$

Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
$f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$

### Пример 2: Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$

Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.

Вычислим коэффициенты Фурье:
$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L$
$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$

Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
$f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$