42 lines
2.3 KiB
Markdown
42 lines
2.3 KiB
Markdown
|
# Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Введение
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Разложение функций произвольного периода
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда ряд Фурье для функции $f(x)$ имеет вид:
|
|||
|
|
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
|
|||
|
|
$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$
|
|||
|
|
$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
|
|||
|
|
$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Примеры
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример 1: Функция $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
|||
|
|
$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0$
|
|||
|
|
$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
|
|||
|
|
$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
|
|||
|
|
$f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример 2: Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
|||
|
|
$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L$
|
|||
|
|
$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
|
|||
|
|
$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
|
|||
|
|
$f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
|