Sweetbread/University-notes
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Actions Packages Projects Releases Wiki Activity

[style](himath): Correct second section

Browse Source
This commit is contained in:
Sweetbread
2024-06-22 00:50:56 +03:00
parent 37646107c3
commit 73a337d981
10 changed files with 569 additions and 710 deletions
Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

41
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md
View File

@ -1,46 +1,33 @@
>Понятие функции двух переменных:
Определение:
Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений $(x, y)$ из некоторого подмножества $D$ плоскости $R^2$ ставит в соответствие некоторое число $z$. Это число обозначается $z = f(x, y)$ и называется значением функции $f$ в точке $(x, y)$. Множество $D$ называется областью определения функции $f$.
Понятие функции двух переменных
# Определение
Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений $(x, y)$ из некоторого подмножества $D$ плоскости $\mathbb{R}^2$ ставит в соответствие некоторое число $z$. Это число обозначается $z = f(x, y)$ и называется значением функции $f$ в точке $(x, y)$. Множество $D$ называется областью определения функции $f$.
$f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x, y)$
Примеры:
# Примеры
1. $f(x, y) = x^2 + y^2$
2. $f(x, y) = \sin(x + y)$
3. $f(x, y) = xy^2 + 3x - 2y$
График функции двух переменных:
Графиком функции $z = f(x, y)$ называется множество всех точек $(x, y, z)$ в пространстве $R^3$, координаты которых удовлетворяют уравнению $z = f(x, y)$.
# График функции двух переменных
Графиком функции $z = f(x, y)$ называется множество всех точек $(x, y, z)$ в пространстве $\mathbb{R}^3$, координаты которых удовлетворяют уравнению $z = f(x, y)$.
$G_f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x, y), (x, y) \in D \}$
Область определения:
# Область определения
Областью определения функции $f(x, y)$ называется множество всех таких пар $(x, y)$, для которых существует значение функции $f(x, y)$.
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists f(x, y) \}$
Примеры областей определения:
## Примеры:
1. $f(x, y) = \sqrt{x^2 - y^2}$
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x^2 - y^2 \geq 0$. В LATEX это выглядит так:
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}$
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x^2 - y^2 \geq 0$. В LATEX это выглядит так:
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}$
2. $f(x, y) = \ln(x + y)$
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x + y > 0$. В LATEX это выглядит так:
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}$
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x + y > 0$. В LATEX это выглядит так:
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}$

183
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md
View File

@ -1,134 +1,115 @@
>Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума:
Определение:
Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума:
# Определение
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой области $D$. Точка $(x_0, y_0)$ из области $D$ называется точкой экстремума функции $f(x, y)$, если существует такая окрестность $U$ точки $(x_0, y_0)$, что для всех точек $(x, y)$ из этой окрестности выполняется одно из следующих условий:
1. $f(x_0, y_0) \leq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой минимума функции $f(x, y)$;
2. $f(x_0, y_0) \geq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой максимума функции $f(x, y)$.
Если в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$ выполняется одно из этих условий, но не выполняется другое, то точка $(x_0, y_0)$ называется точкой седловой точки функции $f(x, y)$.
Необходимое условие экстремума:
# Необходимое условие экстремума
Теорема. Если точка $(x_0, y_0)$ является точкой экстремума функции $f(x, y)$, то необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
1. $f'_x(x_0, y_0) = 0$;
2. $f'_y(x_0, y_0) = 0$.
$$
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
$$
Замечание:
Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка $(x_0, y_0)$ называется стационарной точкой функции $f(x, y)$.
Достаточное условие экстремума:
> [!Замечание]
> Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка $(x_0, y_0)$ называется стационарной точкой функции $f(x, y)$.
# Достаточное условие экстремума
Теорема. Пусть точка $(x_0, y_0)$ является стационарной точкой функции $f(x, y)$, т.е. выполняются условия первого порядка:
$$
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
$$
Тогда:
1. Если $f''_xx(x_0, y_0) > 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
2. Если $f''_xx(x_0, y_0) < 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума функции $f(x, y)$.
3. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 < 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
4. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 = 0$, то достаточного условия экстремума нет.
1. Если $f''_{xx}(x_0, y_0) > 0$ и $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
2. Если $f''_{xx}(x_0, y_0) < 0$ и $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума функции $f(x, y)$.
3. Если $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 < 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
4. Если $D = f''_{xx}(x_0, y_0)f''_{yy}(x_0, y_0) - f''_{xy}(x_0, y_0)^2 = 0$, то достаточного условия экстремума нет.
Примеры:
# Примеры
1. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
$$
f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4
$$
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
$$
\begin{cases}
2x - 2 = 0, \\
2y - 4 = 0
\end{cases}
$$
Получим точку $(1, 2)$.
Найдем частные производные второго порядка:
$$
f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = 2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
$$
Вычислим определитель матрицы Гессе:
$$
D = f''\_xx(1, 2)f''\_yy(1, 2) - f''\_xy(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
$$
Так как $f''\_xx(1, 2) > 0$, то точка $(1, 2)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
Ответ: Точка $(1, 2)$ - точка минимума функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
**Решение**:
Найдем частные производные первого порядка:
$$
f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4
$$
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
$$
\begin{cases}
2x - 2 = 0, \\
2y - 4 = 0
\end{cases}
$$
Получим точку $(1, 2)$.
Найдем частные производные второго порядка:
$$
f''_{xx}(x, y) = 2, \quad f''_{yy}(x, y) = 2, \quad f''_{xy}(x, y) = 0
$$
Вычислим определитель матрицы Гессе:
$$
D = f''_{xx}(1, 2)f''_{yy}(1, 2) - f''_{xy}(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
$$
Так как $f''_{xx}(1, 2) > 0$, то точка $(1, 2)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
**Ответ**: Точка $(1, 2)$ - точка минимума функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
2. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
**Решение**:
Найдем частные производные первого порядка:
$$
f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4
$$
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
$$
\begin{cases}
2x + 2 = 0, \\
-2y + 4 = 0
\end{cases}
$$
Получим точку $(-1, 2)$.
Найдем частные производные второго порядка:
$$
f''_{xx}(x, y) = 2, \quad f''_{yy}(x, y) = -2, \quad f''_{xy}(x, y) = 0
$$
Вычислим определитель матрицы Гессе:
$$
D = f''_{xx}(-1, 2)f''_{yy}(-1, 2) - f''_{xy}(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0
$$
Так как $D < 0$, то точка $(-1, 2)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
**Ответ**: Точка $(-1, 2)$ - седловая точка функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
$$
f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4
$$
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
$$
\begin{cases}
2x + 2 = 0, \\
-2y + 4 = 0
\end{cases}
$$
Получим точку $(-1, 2)$.
Найдем частные производные второго порядка:
$$
f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = -2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
$$
Вычислим определитель матрицы Гессе:
$$
D = f''\_xx(-1, 2)f''\_yy(-1, 2) - f''\_xy(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0
$$
Так как $D < 0$, то точка $(-1, 2)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
Ответ: Точка $(-1, 2)$ - седловая точка функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
>Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе.
>Пусть $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ - функция $n$ переменных, заданная в некоторой области $D$. Тогда матрицей Гессе функции $f$ называется матрица $H(f)$, составленная из вторых частных производных функции $f$:
>$$
> [!?]
> Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе.
> Пусть $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ - функция $n$ переменных, заданная в некоторой области $D$. Тогда матрицей Гессе функции $f$ называется матрица $H(f)$, составленная из вторых частных производных функции $f$:
> $$
H(f) =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_n} \
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_n} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n^2}
\end{pmatrix}
$$

61
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md
View File

@ -1,52 +1,43 @@
> Определения предела функции двух переменных:
Определения предела функции двух переменных:
# Предел функции двух переменных
Предел функции одной переменной определяется как значение, к которому функция стремится при приближении аргумента к некоторому значению. В случае функции двух переменных, предел определяется как значение, к которому функция стремится при приближении пары аргументов $(x, y)$ к некоторой точке $(x_0, y_0)$.
Определение:
## Определение
Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$, кроме самой этой точки. Говорят, что функция $f(x, y)$ имеет предел $A$ при $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - A| < \epsilon$.
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - A| < \epsilon$
Замечание:
Знак $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ называется расстоянием между точками $(x, y)$ и $(x_0, y_0)$.
Примеры:
> [!Замечание]
> Знак $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ называется расстоянием между точками $(x, y)$ и $(x_0, y_0)$.
## Примеры
1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
Решение:
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ не имеет предела, так как знаменатель стремится к нулю при $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ не существует.
**Решение**:
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ не имеет предела, так как знаменатель стремится к нулю при $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ не существует.
2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
**Решение**:
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ стремится к нулю, так как $r$ в числителе имеет степень выше, чем в знаменателе.
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ равен нулю.
Решение:
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ стремится к нулю, так как $r$ в числителе имеет степень выше, чем в знаменателе.
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ равен нулю.
Замечание:
## Замечание
Метод приведения декартовых координат к полярным состоит в следующем:
1. Вычислить радиус-вектор точки $r$ по формуле:
$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$
$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$
2. Вычислить угол $\theta$ между положительным направлением горизонтальной оси и радиус-вектором точки по формуле:
$$
\theta = \begin{cases}
\arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{если } x > 0, \\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{если } x < 0, y \geq 0, \\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi, & \text{если } x < 0, y < 0, \\
\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y > 0, \\
-\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y < 0, \\
\text{не определено}, & \text{если } x = 0, y = 0.
\end{cases}
$$
$$
\theta = \begin{cases}
\arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{если } x > 0, \\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{если } x < 0, y \geq 0, \\
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi, & \text{если } x < 0, y < 0, \\
\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y > 0, \\
-\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y < 0, \\
\text{не определено}, & \text{если } x = 0, y = 0.
\end{cases}
$$

121
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md
View File

@ -1,79 +1,70 @@
> Арифметические свойства предела функции двух переменных
Арифметические свойства предела функции двух переменных:
Арифметические свойства предела функции двух переменных
# Определение
1. Сумма пределов равна пределу суммы:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) + g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
$$
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) + g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
$$
2. Произведение пределов равно пределу произведения:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) \cdot g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
$$
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) \cdot g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
$$
3. Частное пределов равно пределу частного (при условии, что предел знаменателя не равен нулю):
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)}
$$
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)}
$$
4. Предел степени равен степени предела (при условии, что предел основания положителен):
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y))^n = (\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y))^n
$$
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y))^n = (\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y))^n
$$
5. Предел корня равен корню предела (при условии, что предел подкоренного выражения неотрицателен):
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}
$$
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}
$$
Примеры:
# Примеры
1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
Решение:
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
$$
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2\theta}
$$
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 \cos 2\theta}{r^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta
$$
Так как $\cos 2\theta$ - ограниченная функция, то предел $\lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta$ не существует. Значит, предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также не существует.
**Решение**:
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
$$
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2\theta}
$$
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 \cos 2\theta}{r^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta
$$
Так как $\cos 2\theta$ - ограниченная функция, то предел $\lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta$ не существует. Значит, предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также не существует.
2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \frac{x y^2}{x^2 + y^4}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
Решение:
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4}
$$
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0
$$
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = 0
$$
Так как оба предела равны нулю, то предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также равен нулю.
**Решение**:
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4}
$$
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0
$$
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = 0
$$
Так как оба предела равны нулю, то предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также равен нулю.

87
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md
View File

@ -1,67 +1,56 @@
> Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.
Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.
Определение:
Функция $f(x, y)$ называется непрерывной в точке $(x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon$.
В LATEX это выглядит так:
# Определение
Функция $f(x, y)$ называется непрерывной в точке $(x_0, y_0)$, если для любого $\upvarepsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \upvarepsilon$.
$$
\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon
\forall \upvarepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \upvarepsilon
$$
Замечание:
> [!Замечание]
> Если функция $f(x, y)$ непрерывна в точке $(x\_0, y\_0)$, то ее значение в этой точке равно пределу функции при приближении к этой точке.
Если функция $f(x, y)$ непрерывна в точке $(x\_0, y\_0)$, то ее значение в этой точке равно пределу функции при приближении к этой точке.
Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных:
# Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных:
1. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией:
$$
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) + g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
$$
$$
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) + g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
$$
2. Произведение непрерывных функций является непрерывной функцией:
$$
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) \cdot g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
$$
$$
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) \cdot g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
$$
3. Частное непрерывных функций является непрерывной функцией (при условии, что знаменатель не равен нулю в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$):
$$
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0), g(x, y) \neq 0 \text{ в некоторой окрестности точки } (x_0, y_0) \Rightarrow \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
$$
$$
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0), g(x, y) \neq 0 \text{ в некоторой окрестности точки } (x_0, y_0) \Rightarrow \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
$$
4. Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией:
$$
f(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0), g(u) \text{ непрерывна в точке } u_0 = f(x_0, y_0) \Rightarrow g(f(x, y)) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
$$
$$
f(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0), g(u) \text{ непрерывна в точке } u_0 = f(x_0, y_0) \Rightarrow g(f(x, y)) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
$$
Примеры:
# Примеры
1. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2)$.
Решение:
Заметим, что функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ определена во всех точках плоскости. Поэтому мы можем найти ее предел в точке $(1, 2)$:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 2)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 2^2 = 5
$$
Так как предел функции в точке $(1, 2)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ непрерывна в точке $(1, 2)$.
**Решение**:
Заметим, что функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ определена во всех точках плоскости. Поэтому мы можем найти ее предел в точке $(1, 2)$:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 2)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 2^2 = 5
$$
Так как предел функции в точке $(1, 2)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ непрерывна в точке $(1, 2)$.
2. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ в точке $(1, 1)$.
Решение:
Заметим, что функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти ее предел в точке $(1, 1)$:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 1)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{1^2 - 1^2}{1^2 + 1^2} = 0
$$
Так как предел функции в точке $(1, 1)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ непрерывна в точке $(1, 1)$.
**Решение**:
Заметим, что функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти ее предел в точке $(1, 1)$:
$$
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 1)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{1^2 - 1^2}{1^2 + 1^2} = 0
$$
Так как предел функции в точке $(1, 1)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ непрерывна в точке $(1, 1)$.

172
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md
View File

@ -1,27 +1,22 @@
> Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства:
Определение:
Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства:
# Определение
Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
$$
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
$$
Обозначается она следующим образом:
$$
f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
$$
Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
$$
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
$$
Обозначается она следующим образом:
$$
f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
$$
@ -32,109 +27,92 @@ $$
\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y
$$
Арифметические свойства частных производных и дифференциала:
# Арифметические свойства
1. Линейность частных производных:
$$
(kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y)
$$
$$
(kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y)
$$
2. Произведение функций:
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y)
$$
3. Частное функций:
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
4. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов:
$$
\Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y)
$$
$$
\Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y)
$$
5. Дифференциал произведения функций равен сумме произведений функций на дифференциалы:
$$
\Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y)
$$
$$
\Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y)
$$
6. Дифференциал частного функций равен частному от разности произведений функций на дифференциалы на квадрат знаменателя:
$$
\Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
Примеры:
# Примеры
1. Найти частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
Решение:
Найдем частную производную по переменной $x$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16
$$
Найдем частную производную по переменной $y$:
$$
f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13
$$
Ответ: $f'_x(1, 2) = 16$, $f'_y(1, 2) = 13$.
**Решение**:
Найдем частную производную по переменной $x$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16
$$
Найдем частную производную по переменной $y$:
$$
f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13
$$
**Ответ**: $f'_x(1, 2) = 16$, $f'_y(1, 2) = 13$.
2. Найти дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
Решение:
Найдем частные производные функции:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
$$
Найдем дифференциал функции:
$$
\Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y
$$
Ответ: $\Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y$.
**Решение**:
Найдем частные производные функции:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
$$
Найдем дифференциал функции:
$$
\Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y
$$
**Ответ**: $\Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y$.

116
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md
View File

@ -1,81 +1,67 @@
>Уравнение касательной плоскости к поверхности:
Определение:
Уравнение касательной плоскости к поверхности
# Определение
Пусть $z = f(x, y)$ - поверхность, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0, z_0)$, где $z_0 = f(x_0, y_0)$. Касательной плоскостью к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ называется плоскость, проходящая через точку $(x_0, y_0, z_0)$ и имеющая направленный вектор, перпендикулярный вектору нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$.
Вектор нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно найти по формуле:
$$
\mathbf{n} = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1\right)
$$
Уравнение касательной плоскости к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно записать в следующем виде:
$$
(x - x_0)f'_x(x_0, y_0) + (y - y_0)f'_y(x_0, y_0) - (z - z_0) = 0
$$
Примеры:
# Примеры
1. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$.
Решение:
Найдем частные производные функции $z = x^2 + y^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4
$$
Найдем вектор нормали к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
$$
\mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right)
$$
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
$$
(x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0
$$
Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:
$$
2x + 4y - z = 3
$$
Ответ: $2x + 4y - z = 3$.
**Решение**:
Найдем частные производные функции $z = x^2 + y^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4
$$
Найдем вектор нормали к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
$$
\mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right)
$$
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
$$
(x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0
$$
Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:
$$
2x + 4y - z = 3
$$
**Ответ**: $2x + 4y - z = 3$.
2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$.
Решение:
Найдем частные производные функции $z = \sin(x + y)$:
$$
f'_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y)
$$
Подставим значения $x = \pi/4$ и $y = \pi/4$:
$$
f'_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0
$$
Заметим, что частные производные функции $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ горизонтальна.
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$:
$$
z = 1
$$
Ответ: $z = 1$.
**Решение**:
Найдем частные производные функции $z = \sin(x + y)$:
$$
f'_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y)
$$
Подставим значения $x = \pi/4$ и $y = \pi/4$:
$$
f'_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0
$$
Заметим, что частные производные функции $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ горизонтальна.
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$:
$$
z = 1
$$
**Ответ**: $z = 1$.

118
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md
View File

@ -1,97 +1,79 @@
>Производная по направлению. Градиент:
Определение:
Производная по направлению. Градиент
# Определение
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Производной функции $f(x, y)$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (l_1, l_2)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
$$
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t}
$$
Обозначается она следующим образом:
$$
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
$$
Градиентом функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется вектор, составленный из частных производных функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
$$
\nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right)
$$
Свойства производной по направлению и градиента:
# Свойства
1. Линейность производной по направлению:
$$
\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}
$$
$$
\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}
$$
2. Произведение функций:
$$
\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}
$$
$$
\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}
$$
3. Частное функций:
$$
\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}
$$
$$
\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}
$$
4. Связь производной по направлению и градиента:
$$
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
$$
$$
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
$$
5. Направление максимального увеличения функции:
Направление максимального увеличения функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается вектором градиента $\nabla f(x_0, y_0)$.
Направление максимального увеличения функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается вектором градиента $\nabla f(x_0, y_0)$.
Примеры:
# Примеры
1. Найти производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$.
Решение:
Найдем частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
$$
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
$$
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
$$
Найдем производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$:
$$
\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71
$$
Ответ: $\frac{df}{dt}(1, 2) = 71$.
**Решение**:
Найдем частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
$$
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
$$
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
$$
Найдем производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$:
$$
\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71
$$
**Ответ**: $\frac{df}{dt}(1, 2) = 71$.
2. Найти направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
Решение:
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
$$
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
$$
Направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$ задается вектором градиента $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
Ответ: $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
**Решение**:
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
$$
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
$$
Направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$ задается вектором градиента $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
**Ответ**: $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.

192
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md
View File

@ -1,7 +1,6 @@
>Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
Определение:
Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных
# Определение
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
$$
@ -9,19 +8,16 @@ $$
$$
Обозначается она следующим образом:
$$
f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
$$
Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
$$
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
$$
Обозначается она следующим образом:
$$
f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
$$
@ -41,110 +37,102 @@ f''_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)
\quad f''_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)
$$
Свойства частных производных и дифференциалов высших порядков:
# Свойства
1. Линейность частных производных:
$$
(kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y)
$$
$$
(kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y)
$$
2. Произведение функций:
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)
$$
3. Частные функций:
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
4. Смешанные производные:
$$
f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y)
$$
$$
f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y)
$$
Примеры:
# Примеры
1. Найти частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
$$
Ответ: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$.
**Решение**:
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
$$
**Ответ**: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$.
2. Найти дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6
$$
Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
$$
d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2
$$
Ответ: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$.
**Решение**:
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6
$$
Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
$$
d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2
$$
**Ответ**: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$.

188
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md
View File

@ -1,124 +1,110 @@
>Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
Определение:
Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
# Определение
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Формула Тейлора для функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид:
$$
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
$$
Здесь $f'_x(x_0, y_0)$ и $f'_y(x_0, y_0)$ - частные производные функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$, $o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})$ - остаточный член в форме Пеано.
Замечание:
Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что:
$$
o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot \alpha(x, y)
$$
причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$.
Свойства формулы Тейлора:
> [!Замечание]
> Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что:
> $$
> o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot\alpha(x, y)
> $$
> причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$.
# Свойства
1. Линейность:
$$
(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)
$$
$$
(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)
$$
2. Произведение функций:
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)
$$
$$
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)
$$
3. Частное функций:
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
$$
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}
$$
4. Связь между частными производными и дифференциалами:
$$
df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy
$$
$$
df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy
$$
5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано:
$$
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
$$
$$
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
$$
Примеры:
# Примеры
1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
$$
Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
$$
df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy
$$
Ответ: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$.
**Решение**:
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
$$
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
$$
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
$$
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
$$
Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
$$
df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy
$$
**Ответ**: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$.
2. Найти приближенное значение функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1,1, 2, 201)$ с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
Решение:
Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$:
$$
f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})
$$
Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$:
$$
f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4
$$
$$
f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5
$$
$$
f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7
$$
Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$:
$$
f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13
$$
Ответ: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$.
**Решение**:
Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$:
$$
f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})
$$
Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$:
$$
f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4
$$
$$
f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5
$$
$$
f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7
$$
Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$:
$$
f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13
$$
**Ответ**: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$.