University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md

Понятие функции двух переменных

Определение

Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений (x, y) из некоторого подмножества D плоскости \mathbb{R}^2 ставит в соответствие некоторое число z. Это число обозначается z = f(x, y) и называется значением функции f в точке (x, y). Множество D называется областью определения функции f.

f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x, y)

Примеры

1. f(x, y) = x^2 + y^2
2. f(x, y) = \sin(x + y)
3. f(x, y) = xy^2 + 3x - 2y

График функции двух переменных

Графиком функции z = f(x, y) называется множество всех точек (x, y, z) в пространстве \mathbb{R}^3, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f(x, y).

G_f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x, y), (x, y) \in D \}

Область определения

Областью определения функции f(x, y) называется множество всех таких пар (x, y), для которых существует значение функции f(x, y).

D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists f(x, y) \}

Примеры:

1. f(x, y) = \sqrt{x^2 - y^2} Областью определения этой функции будет множество всех таких пар (x, y), для которых x^2 - y^2 \geq 0. В LATEX это выглядит так:

   D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}

2. f(x, y) = \ln(x + y) Областью определения этой функции будет множество всех таких пар (x, y), для которых x + y > 0. В LATEX это выглядит так:

   D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}