[style](himath): Correct first section
This commit is contained in:
@ -1,6 +1,6 @@
|
||||
> Понятие неопределенного интеграла, его свойства:
|
||||
Понятие неопределенного интеграла, его свойства
|
||||
|
||||
# Определение неопределенного интеграла
|
||||
# Неопределенный интеграл
|
||||
|
||||
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция на отрезке $[a,b]$. Тогда неопределенным интегралом функции $f(x)$ называется множество всех функций $F(x)$, для которых выполняется равенство:
|
||||
|
||||
@ -14,8 +14,7 @@ $$\int f(x)dx = F(x) + C$$
|
||||
|
||||
Геометрический смысл неопределенного интеграла состоит в том, что он представляет собой семейство кривых, которые можно получить из графика функции $f(x)$ путем его вертикального сдвига на величину $C$.
|
||||
|
||||
## Свойства неопределенных интегралов:
|
||||
|
||||
## Свойства:
|
||||
1. Производная равна подынтегральному выражению.
|
||||
$$\left(\int f(x)dx\right)' = f(x)$$
|
||||
2. Интеграл от суммы равен сумме интеграла.
|
||||
|
||||
39
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md
Normal file
39
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md
Normal file
@ -0,0 +1,39 @@
|
||||
Интегрирование по частям в определенном интеграле
|
||||
|
||||
# Формула интегрирования по частям
|
||||
Пусть функции $u(x)$ и $v(x)$ дифференцируемы на отрезке $[a, b]$. Тогда определенный интеграл от производной их произведения можно вычислить по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b (u(x)v'(x) + u'(x)v(x)) \, dx = u(x)v(x)\big|_a^b.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Эту формулу можно переписать в более удобном для применения виде:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b u(x)v'(x) \, dx = u(x)v(x)\big|_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Здесь $u(x)$ и $v(x)$ - функции, выбранные таким образом, чтобы интеграл от произведения $u'(x)v(x)$ был проще, чем исходный интеграл.
|
||||
|
||||
## Геометрический смысл
|
||||
Геометрически интегрирование по частям в определенном интеграле означает, что мы разбиваем область интегрирования на две части и вычисляем интеграл отдельно для каждой части. При этом одна из частей вычисляется непосредственно, а другая - с помощью формулы интегрирования по частям.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
1. Вычислим интеграл $\int_0^1 x e^x \, dx$.
|
||||
Заметим, что функция $e^x$ является своей собственной первообразной. Выберем $u(x) = x$ и $v'(x) = e^x$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v(x) = e^x$. Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_0^1 x e^x \, dx = xe^x\big|_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx = (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - (e^1 - e^0) = e - 1.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Вычислим интеграл $\int_1^2 \ln x \, dx$.
|
||||
Выберем $u(x) = \ln x$ и $v'(x) = 1$. Тогда $u'(x) = \frac{1}{x}$ и $v(x) = x$. Подставляя эти выражения в формулу интегрирования по частям, получаем:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_1^2 \ln x \, dx = x\ln x\big|_1^2 - \int_1^2 1 \, dx = (2\ln 2 - 1\ln 1) - (2 - 1) = 2\ln 2 - 1.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Правила интегрирования по частям
|
||||
- Функции $u(x)$ и $v(x)$ должны быть дифференцируемы на отрезке $[a, b]$;
|
||||
- Необходимо выбрать функции $u(x)$ и $v(x)$ таким образом, чтобы интеграл от произведения $u'(x)v(x)$ был проще, чем исходный интеграл;
|
||||
- Пределы интегрирования должны соответствовать образу функции $u(x)v(x)$ на отрезке $[a, b]$.
|
||||
196
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md
Normal file
196
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11.md
Normal file
@ -0,0 +1,196 @@
|
||||
Приложения определенного интеграла в геометрии: длина кривой, площадь криволинейной трапеции
|
||||
|
||||
# Площадь плоской фигуры
|
||||
|
||||
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)$ и осью абсцисс на отрезке $[a, b]$. Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
S = \int_a^b f(x) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Пример
|
||||
Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции $f(x) = x^2$ и осью абсцисс на отрезке $[0, 1]$.
|
||||
|
||||
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x^2$ в формулу для площади:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
S = \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Ответ**: $\frac{1}{3}$.
|
||||
|
||||
# Объем тела вращения вокруг оси абсцисс
|
||||
Пусть дана непрерывная функция $f(x)$ на отрезке $[a, b]$. Тогда объем тела, полученного вращением этой функции вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Пример
|
||||
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции $f(x) = x$ вокруг оси абсцисс на отрезке $[0, 1]$.
|
||||
|
||||
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x$ в формулу для объема:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V = \pi \int_0^1 x^2 \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Ответ**: $\frac{\pi}{3}$.
|
||||
|
||||
# Объем тела вращения вокруг оси ординат
|
||||
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)$ и осью абсцисс на отрезке $[a, b]$. Тогда объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси ординат, вычисляется по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Эта формула также известна как формула Гельдерлина-Паппа.
|
||||
|
||||
## Пример
|
||||
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции $f(x) = x^2$ вокруг оси ординат на отрезке $[0, 1]$.
|
||||
|
||||
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x^2$ в формулу для объема:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V = 2\pi \int_0^1 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^1 x^3 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Ответ**: $\frac{\pi}{2}$.
|
||||
|
||||
## Метод дисков
|
||||
Метод дисков - это один из методов вычисления объема тела вращения. Он основан на представлении тела вращения в виде бесконечного числа тонких дисков. Рассмотрим более подробно этот метод.
|
||||
|
||||
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)$ и осью абсцисс на отрезке $[a, b]$. Разделим этот отрезок на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \frac{b - a}{n}$. Тогда объем тела вращения, полученного вращением этой фигуры вокруг оси ординат, можно приближенно вычислить как сумму объемов $n$ тонких цилиндрических дисков:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V \approx \sum_{i=1}^n \pi (f(x_i))^2 \Delta x,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
где $x_i$ - точка на отрезке $[a, b]$, соответствующая $i$-му диску.
|
||||
|
||||
Если перейти к пределу при $n \to \infty$, то получим точную формулу для объема тела вращения:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции $f(x) = x$ вокруг оси ординат на отрезке $[0, 1]$ с помощью метода дисков.
|
||||
|
||||
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x$ в формулу для объема:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V = \pi \int_0^1 (x)^2 \, dx = \pi \int_0^1 x^2 \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Ответ**: $\frac{\pi}{3}$.
|
||||
|
||||
## Метод цилиндрических колец
|
||||
Метод цилиндрических колец - это другой метод вычисления объема тела вращения. Он основан на представлении тела вращения в виде бесконечного числа тонких цилиндрических колец. Рассмотрим более подробно этот метод.
|
||||
|
||||
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)$ и осью абсцисс на отрезке $[a, b]$. Разделим этот отрезок на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \frac{b - a}{n}$. Тогда объем тела вращения, полученного вращением этой фигуры вокруг оси ординат, можно приближенно вычислить как сумму объемов $n$ тонких цилиндрических колец:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V \approx \sum_{i=1}^n 2\pi x_i f(x_i) \Delta x,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
где $x_i$ - точка на отрезке $[a, b]$, соответствующая $i$-му кольцу.
|
||||
|
||||
Если перейти к пределу при $n \to \infty$, то получим точную формулу для объема тела вращения:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Этот метод называется методом цилиндрических колец.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции $f(x) = x^2$ вокруг оси ординат на отрезке $[0, 1]$ с помощью метода цилиндрических колец.
|
||||
|
||||
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x^2$ в формулу для объема:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
V = 2\pi \int_0^1 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^1 x^3 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Ответ**: $\frac{\pi}{2}$.
|
||||
|
||||
# Длина кривой
|
||||
Пусть дана кривая $y = f(x)$, где $f(x)$ - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке $[a, b]$. Тогда длина дуги кривой между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ вычисляется по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Здесь $f'(x)$ - производная функции $f(x)$ по переменной $x$.
|
||||
|
||||
## Пример
|
||||
Вычислим длину дуги параболы $y = x^2$ между точками $A(0, 0)$ и $B(1, 1)$.
|
||||
|
||||
**Решение**: Найдем производную функции $f(x) = x^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'(x) = 2x.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Теперь подставим это выражение в формулу для длины дуги:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
L = \int_0^1 \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Для вычисления этого интеграла воспользуемся заменой переменных:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
u = 1 + 4x^2, \\
|
||||
du = 8x \, dx.
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Тогда пределы интегрирования изменятся следующим образом: $u(0) = 1$ и $u(1) = 5$. Кроме того, $dx = \frac{1}{8x} du$. Теперь мы можем переписать интеграл:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
L = \frac{1}{8} \int_1^5 \sqrt{u} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{u - 1}{4}}} \, du = \frac{1}{4} \int_1^5 \sqrt{\frac{u}{u - 1}} \, du.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Для вычисления этого интеграла снова воспользуемся заменой переменных:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
t = \sqrt{\frac{u}{u - 1}}, \\
|
||||
dt = -\frac{1}{2(u - 1)\sqrt{\frac{u}{u - 1}}} \, du.
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Тогда пределы интегрирования изменятся следующим образом: $t(1) = 1$ и $t(5) = \sqrt{2}$. Кроме того, $du = -2(u - 1)t \, dt$. Теперь мы можем переписать интеграл:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
L = -\frac{1}{2} \int_1^{\sqrt{2}} t^2 \, dt = -\frac{1}{2} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} = -\frac{1}{6} (2\sqrt{2} - 1) = \frac{1}{6} (1 - 2\sqrt{2}).
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Ответ**: $\frac{1}{6} (1 - 2\sqrt{2})$.
|
||||
|
||||
# Площадь криволинейной трапеции
|
||||
Пусть даны две непрерывные функции $f(x)$ и $g(x)$ на отрезке $[a, b]$, причем $f(x) \ge g(x)$ для всех $x \in [a, b]$. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций $f(x)$ и $g(x)$ и прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Пример
|
||||
Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций $f(x) = x^2$ и $g(x) = x$ на отрезке $[0, 1]$.
|
||||
|
||||
**Решение**: Найдем разность функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x) - g(x) = x^2 - x.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Теперь подставим это выражение в формулу для площади криволинейной трапеции:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
S = \int_0^1 (x^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
**Ответ**: $\frac{1}{6}$.
|
||||
59
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md
Normal file
59
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12.md
Normal file
@ -0,0 +1,59 @@
|
||||
Несобственный интеграл 1-го рода: определение, признак сравнения
|
||||
|
||||
# Несобственный интеграл 1-го рода
|
||||
|
||||
Пусть дана функция $f(x)$, непрерывная на отрезке $[a, b)$, и пусть $\int_a^b f(x) \, dx$ - ее определенный интеграл на этом отрезке. Тогда несобственный интеграл 1-го рода от функции $f(x)$ на отрезке $[a, +\infty)$ определяется как предел:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_a^{+\infty} f(x) \, dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x) \, dx,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
при условии, что этот предел существует.
|
||||
|
||||
Аналогично, несобственный интеграл 1-го рода от функции $f(x)$ на отрезке $(-\infty, b]$ определяется как предел:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_{-\infty}^b f(x) \, dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f(x) \, dx,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
при условии, что этот предел существует.
|
||||
|
||||
Если функция $f(x)$ имеет бесконечность в точке $c$ области интегрирования, то несобственный интеграл 1-го рода от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ определяется как предел:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_a^{c-\varepsilon} f(x) \, dx + \int_{c+\varepsilon}^b f(x) \, dx \right),
|
||||
$$
|
||||
|
||||
при условии, что этот предел существует.
|
||||
|
||||
## Признак сравнения
|
||||
|
||||
Признак сравнения - это один из основных методов исследования сходимости несобственных интегралов 1-го рода. Он основан на сравнении исследуемого интеграла с другим интегралом, сходимость или расходимость которого уже известна.
|
||||
|
||||
Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, непрерывные на отрезке $[a, +\infty)$, и пусть $0 \le f(x) \le g(x)$ для всех $x \in [a, +\infty)$. Тогда:
|
||||
|
||||
- Если несобственный интеграл $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ сходится, то несобственный интеграл $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ также сходится.
|
||||
|
||||
- Если несобственный интеграл $\int_a^{+\infty} f(x) \, dx$ расходится, то несобственный интеграл $\int_a^{+\infty} g(x) \, dx$ также расходится.
|
||||
|
||||
Аналогичные утверждения справедливы для несобственных интегралов на отрезке $(-\infty, b]$ и на отрезке $[a, b]$, содержащем точку бесконечности функции.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. Исследовать сходимость несобственного интеграла $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$.
|
||||
**Решение**: Заметим, что функция $f(x) = \frac{1}{x^2}$ непрерывна и положительна на отрезке $[1, +\infty)$. Кроме того, она убывает, поэтому можно воспользоваться признаком сравнения. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию $g(x) = \frac{1}{x^{1+\varepsilon}}$, где $\varepsilon > 0$. Тогда:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
0 \le \frac{1}{x^2} \le \frac{1}{x^{1+\varepsilon}} \quad \forall x \in [1, +\infty).
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Несобственный интеграл $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^{1+\varepsilon}} \, dx$ сходится при $\varepsilon > 0$, поэтому несобственный интеграл $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2} \, dx$ также сходится.
|
||||
|
||||
2. Исследовать сходимость несобственного интеграла $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$.
|
||||
**Решение**: Заметим, что функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ непрерывна и положительна на отрезке $(0, 1]$. Кроме того, она имеет бесконечность в точке $x = 0$. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию $g(x) = \frac{1}{x^{1-\varepsilon}}$, где $0 < \varepsilon < 1$. Тогда:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
0 \le \frac{1}{\sqrt{x}} \le \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \quad \forall x \in (0, 1].
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Несобственный интеграл $\int_0^1 \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \, dx$ сходится при $0 < \varepsilon < 1$, поэтому несобственный интеграл $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx$ также сходится.
|
||||
44
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md
Normal file
44
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/13.md
Normal file
@ -0,0 +1,44 @@
|
||||
Несобственный интеграл 2-го рода: определение, признак сравнения
|
||||
|
||||
# Несобственный интеграл 2-го рода
|
||||
Пусть дана функция $f(x)$, непрерывная на отрезке $[a, b]$ и имеющая бесконечность в точке $c \in (a, b)$. Тогда несобственный интеграл 2-го рода от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ определяется как предел:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b f(x) \, dx = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_a^{c-\varepsilon} f(x) \, dx + \int_{c+\varepsilon}^b f(x) \, dx \right),
|
||||
$$
|
||||
|
||||
при условии, что этот предел существует.
|
||||
|
||||
Если функция $f(x)$ имеет бесконечность в конце отрезка интегрирования, то несобственный интеграл 2-го рода определяется аналогично.
|
||||
|
||||
## Признак сравнения
|
||||
Признак сравнения - это один из основных методов исследования сходимости несобственных интегралов 2-го рода. Он основан на сравнении исследуемого интеграла с другим интегралом, сходимость или расходимость которого уже известна.
|
||||
|
||||
Пусть даны две функции $f(x)$ и $g(x)$, непрерывные на отрезке $[a, b]$ и имеющие бесконечность в точке $c \in (a, b)$, и пусть $0 \le f(x) \le g(x)$ для всех $x \in [a, b] \setminus \{c\}$. Тогда:
|
||||
|
||||
- Если несобственный интеграл $\int_a^b g(x) \, dx$ сходится, то несобственный интеграл $\int_a^b f(x) \, dx$ также сходится.
|
||||
|
||||
- Если несобственный интеграл $\int_a^b f(x) \, dx$ расходится, то несобственный интеграл $\int_a^b g(x) \, dx$ также расходится.
|
||||
|
||||
Аналогичные утверждения справедливы для несобственных интегралов на отрезке $[a, +\infty)$, $(-\infty, b]$ и $(-\infty, +\infty)$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. Исследовать сходимость несобственного интеграла $\int_0^1 \frac{\sin x}{x} \, dx$.
|
||||
**Решение**: Заметим, что функция $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ непрерывна на отрезке $(0, 1]$ и имеет бесконечность в точке $x = 0$. Кроме того, она положительна на этом отрезке. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию $g(x) = 1$. Тогда:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
0 \le \frac{\sin x}{x} \le 1 \quad \forall x \in (0, 1].
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Несобственный интеграл $\int_0^1 1 \, dx$ сходится, поэтому несобственный интеграл $\int_0^1 \frac{\sin x}{x} \, dx$ также сходится.
|
||||
|
||||
2. Исследовать сходимость несобственного интеграла $\int_0^1 \frac{1}{x \ln x} \, dx$.
|
||||
**Решение**: Заметим, что функция $f(x) = \frac{1}{x \ln x}$ непрерывна на отрезке $(0, 1]$ и имеет бесконечность в точке $x = 0$. Кроме того, она положительна на этом отрезке. Возьмем в качестве сравнивающей функции функцию $g(x) = \frac{1}{x^{1-\varepsilon}}$, где $0 < \varepsilon < 1$. Тогда:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
0 \le \frac{1}{x \ln x} \le \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \quad \forall x \in (0, 1].
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Несобственный интеграл $\int_0^1 \frac{1}{x^{1-\varepsilon}} \, dx$ сходится при $0 < \varepsilon < 1$, поэтому несобственный интеграл $\int_0^1 \frac{1}{x \ln x} \, dx$ также сходится.
|
||||
|
||||
17
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md
Normal file
17
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6.md
Normal file
@ -0,0 +1,17 @@
|
||||
Понятие определенного интеграла
|
||||
|
||||
# Определенный интеграл
|
||||
|
||||
Пусть $f(x)$ - непрерывная функция на отрезке $[a, b]$. Тогда определенный интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ обозначается следующим образом:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
I = \int_a^b f(x) \, dx,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
где символ $\int$ называется *знаком интегрирования*, $a$ и $b$ - *пределы интегрирования*, $f(x)$ - *интегрируемая функция*, а $dx$ - *дифференциал аргумента*.
|
||||
|
||||
## Геометрический смысл определенного интеграла
|
||||
Геометрически определенный интеграл представляет собой *площадь*, ограниченную графиком функции $f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x = a$ и $x = b$. Если функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[a, b]$, то эта площадь неотрицательна. Если функция принимает отрицательные значения, то соответствующая площадь считается отрицательной.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
70
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md
Normal file
70
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7.md
Normal file
@ -0,0 +1,70 @@
|
||||
Свойства определенного интеграла
|
||||
|
||||
1. Линейность:
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
где $\alpha$ и $\beta$ - константы.
|
||||
|
||||
2. Аддитивность:
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
где $c \in [a, b]$.
|
||||
|
||||
3. Неравенство:
|
||||
$$
|
||||
\text{Если } f(x) \ge g(x) \text{ на } [a, b], \text{ то } \int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b g(x) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
4. Оценка модуля интеграла:
|
||||
$$
|
||||
\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le \int_a^b |f(x)| \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
5. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
|
||||
$$
|
||||
\int_a^a f(x) \, dx = 0.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
6. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^b f(t) \, dt.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
7. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int_a^b f(x) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
8. Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов:
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b \left( f_1(x) + f_2(x) + \dots + f_n(x) \right) dx = \int_a^b f_1(x) \, dx + \int_a^b f_2(x) \, dx + \dots + \int_a^b f_n(x) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
9. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определенный интеграл по всему отрезку равен сумме определенных интегралов по его частям:
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx, \quad a < c < b.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
10. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определенного интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак:
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b f(x) \, dx = -\int_b^a f(x) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
11. Определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке $x_0$ внутри его (теорема Лагранжа о среднем значении):
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b f(x) \, dx = f(x_0) \cdot (b - a), \quad x_0 \in (a, b).
|
||||
$$
|
||||
|
||||
12. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определенный интеграл неотрицателен (положителен):
|
||||
$$
|
||||
\text{Если } a < b \text{ и } f(x) \ge 0 \text{ на } [a, b], \text{ то } \int_a^b f(x) \, dx \ge 0.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
13. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции $f(x)$ и $g(x)$ непрерывны, то неравенство $f(x) \ge g(x)$ можно почленно интегрировать:
|
||||
$$
|
||||
\text{Если } a < b, \, f(x) \ge g(x) \text{ на } [a, b] \text{ и } f, g - \text{непрерывны, то } \int_a^b f(x) \, dx \ge \int_a^b g(x) \, dx.
|
||||
$$
|
||||
38
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md
Normal file
38
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8.md
Normal file
@ -0,0 +1,38 @@
|
||||
Формула Ньютона-Лейбница
|
||||
|
||||
# Формулировка формулы Ньютона-Лейбница
|
||||
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, и пусть $F(x)$ - любая первообразная функции $f(x)$ на этом отрезке. Тогда определенный интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ можно вычислить по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Здесь $F(b)$ и $F(a)$ - значения первообразной функции в точках $b$ и $a$, соответственно.
|
||||
|
||||
## Геометрический смысл формулы Ньютона-Лейбница
|
||||
Геометрически формула Ньютона-Лейбница означает, что площадь, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x = a$ и $x = b$, равна разности значений первообразной функции $F(x)$ в точках $b$ и $a$.
|
||||
|
||||
## Примеры применения формулы Ньютона-Лейбница
|
||||
Рассмотрим несколько примеров вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
|
||||
|
||||
1. Вычислим интеграл $\int_0^1 x^2 \, dx$.
|
||||
Первообразная функции $f(x) = x^2$ имеет вид $F(x) = \frac{x^3}{3}$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
|
||||
$$
|
||||
\int_0^1 x^2 \, dx = F(1) - F(0) = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Вычислим интеграл $\int_1^e \frac{1}{x} \, dx$.
|
||||
Первообразная функции $f(x) = \frac{1}{x}$ имеет вид $F(x) = \ln|x|$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_1^e \frac{1}{x} \, dx = F(e) - F(1) = \ln|e| - \ln|1| = 1.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Свойства определенного интеграла, следующие из формулы Ньютона-Лейбница
|
||||
Формула Ньютона-Лейбница позволяет доказать многие свойства определенного интеграла, такие как линейность, аддитивность, неравенство и другие. Например, из формулы Ньютона-Лейбница следует, что определенный интеграл линеен:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx,
|
||||
$$
|
||||
|
||||
где $\alpha$ и $\beta$ - константы.
|
||||
46
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md
Normal file
46
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/9.md
Normal file
@ -0,0 +1,46 @@
|
||||
Замена переменных в определенном интеграле
|
||||
|
||||
# Формула замены переменных
|
||||
Пусть функция $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a, b]$, и пусть функция $\varphi(t)$ дифференцируема на отрезке $[\alpha, \beta]$ и при этом $\varphi' (t) \ne 0$ на этом отрезке. Предположим, что $x = \varphi(t)$ - замена переменных, при которой $\varphi(\alpha) = a$ и $\varphi(\beta) = b$. Тогда определенный интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$ можно вычислить по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b f(x) \, dx = \int_{\alpha}^{\beta} f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Здесь $f(\varphi(t))$ - функция $f(x)$, в которой выполнена замена переменных $x = \varphi(t)$, а $\varphi'(t)$ - производная функции $\varphi(t)$ по переменной $t$.
|
||||
|
||||
## Геометрический смысл
|
||||
Геометрически замена переменных в определенном интеграле означает, что мы деформируем область интегрирования таким образом, чтобы она стала более простой. При этом значение интеграла не меняется, так как мы учитываем изменение масштаба при деформации.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. Вычислим интеграл $\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx$.
|
||||
Заменим переменную $x = \sin t$, где $t \in [0, \frac{\pi}{2}]$. Тогда $dx = \cos t \, dt$ и $\sqrt{1 - x^2} = \cos t$. Подставляя эти выражения в интеграл, получаем:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_0^1 x \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos^2 t \, dt.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Теперь мы можем воспользоваться формулой редукции для интеграла от степени синуса или косинуса и вычислить интеграл:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin t \cos^2 t \, dt = \left[ -\frac{1}{3} \cos^3 t \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{3} \cos^3 \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3} \cos^3 0 = \frac{1}{3}.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Вычислим интеграл $\int_0^2 x e^{x^2} \, dx$.
|
||||
Заменим переменную $u = x^2$, тогда $du = 2x \, dx$ и $x \, dx = \frac{1}{2} du$. Пределы интегрирования при замене переменных изменятся следующим образом: $u(0) = 0^2 = 0$ и $u(2) = 2^2 = 4$. Подставляя эти выражения в интеграл, получаем:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\int_0^2 x e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^4 e^u \, du.
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Теперь мы можем легко вычислить интеграл:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{1}{2} \int_0^4 e^u \, du = \frac{1}{2} \left[ e^u \right]_0^4 = \frac{1}{2} (e^4 - e^0) = \frac{1}{2} (e^4 - 1).
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Правила замены переменных
|
||||
- Функция $\varphi(t)$ должна быть дифференцируема на отрезке $[\alpha, \beta]$;
|
||||
- Производная $\varphi'(t)$ не должна обращаться в ноль на отрезке $[\alpha, \beta]$;
|
||||
- Пределы интегрирования должны соответствовать образу функции $\varphi(t)$ на отрезке $[\alpha, \beta]$.
|
||||
Reference in New Issue
Block a user