University-notes/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md

Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства:

Определение

Пусть f(x, y) - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки (x_0, y_0). Частной производной функции f(x, y) по переменной x в точке (x_0, y_0) называется предел:

\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}

Обозначается она следующим образом:

f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)

Аналогично определяется частная производная функции f(x, y) по переменной y в точке (x_0, y_0):

\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}

Обозначается она следующим образом:

f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)

Дифференциалом первого порядка функции f(x, y) в точке (x\_0, y\_0) называется линейная функция \Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y, где \Delta x и \Delta y - приращения переменных x и y соответственно.

\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y

Арифметические свойства

1. Линейность частных производных:

     kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y)
   

     f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y)
   

2. Произведение функций:

     f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y)
   

     f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y)
   

3. Частное функций:

     left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)}
   

     left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)}
   

4. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов:

     Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y)
   

5. Дифференциал произведения функций равен сумме произведений функций на дифференциалы:

     Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y)
   

6. Дифференциал частного функций равен частному от разности произведений функций на дифференциалы на квадрат знаменателя:

     Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)}
   

Примеры

1. Найти частные производные функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2). Решение:

   Найдем частную производную по переменной x:

     '_x(x, y) = 2xy + 3y^2
   

   Подставим значения x = 1 и y = 2:

     '_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16
   

   Найдем частную производную по переменной y:

     '_y(x, y) = x^2 + 6xy
   

   Подставим значения x = 1 и y = 2:

     '_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13
   

   Ответ: f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13.

2. Найти дифференциал функции f(x, y) = x^2y + 3xy^2 в точке (1, 2). Решение:

   Найдем частные производные функции:

     '_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
   

   Подставим значения x = 1 и y = 2:

     '_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
   

   Найдем дифференциал функции:

     Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y
   

   Ответ: \Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y.