Полноценно готов Второй блок билетов

1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md

@@ -0,0 +1,134 @@
+>Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума:
+
+Определение:
+
+Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой области $D$. Точка $(x_0, y_0)$ из области $D$ называется точкой экстремума функции $f(x, y)$, если существует такая окрестность $U$ точки $(x_0, y_0)$, что для всех точек $(x, y)$ из этой окрестности выполняется одно из следующих условий:
+
+1. $f(x_0, y_0) \leq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой минимума функции $f(x, y)$;
+
+2. $f(x_0, y_0) \geq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой максимума функции $f(x, y)$.
+
+Если в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$ выполняется одно из этих условий, но не выполняется другое, то точка $(x_0, y_0)$ называется точкой седловой точки функции $f(x, y)$.
+
+Необходимое условие экстремума:
+
+Теорема. Если точка $(x_0, y_0)$ является точкой экстремума функции $f(x, y)$, то необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
+
+1. $f'_x(x_0, y_0) = 0$;
+
+2. $f'_y(x_0, y_0) = 0$.
+
+$$
+f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
+$$
+
+Замечание:
+
+Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка $(x_0, y_0)$ называется стационарной точкой функции $f(x, y)$.
+
+Достаточное условие экстремума:
+
+Теорема. Пусть точка $(x_0, y_0)$ является стационарной точкой функции $f(x, y)$, т.е. выполняются условия первого порядка:
+
+$$
+f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
+$$
+
+Тогда:
+
+1. Если $f''_xx(x_0, y_0) > 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
+
+2. Если $f''_xx(x_0, y_0) < 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума функции $f(x, y)$.
+
+3. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 < 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
+
+4. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 = 0$, то достаточного условия экстремума нет.
+
+
+Примеры:
+
+1. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные первого порядка:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4
+$$
+
+Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
+
+$$
+\begin{cases}
+2x - 2 = 0, \\
+2y - 4 = 0
+\end{cases}
+$$
+
+Получим точку $(1, 2)$.
+
+Найдем частные производные второго порядка:
+
+$$
+f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = 2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
+$$
+
+Вычислим определитель матрицы Гессе:
+
+$$
+D = f''\_xx(1, 2)f''\_yy(1, 2) - f''\_xy(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
+$$
+
+Так как $f''\_xx(1, 2) > 0$, то точка $(1, 2)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
+
+Ответ: Точка $(1, 2)$ - точка минимума функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
+
+2. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные первого порядка:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4
+$$
+
+Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
+
+$$
+\begin{cases}
+2x + 2 = 0, \\
+-2y + 4 = 0
+\end{cases}
+$$
+
+Получим точку $(-1, 2)$.
+
+Найдем частные производные второго порядка:
+
+$$
+f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = -2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
+$$
+
+Вычислим определитель матрицы Гессе:
+
+$$
+D = f''\_xx(-1, 2)f''\_yy(-1, 2) - f''\_xy(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0
+$$
+
+Так как $D < 0$, то точка $(-1, 2)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
+
+Ответ: Точка $(-1, 2)$ - седловая точка функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
+
+>Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе.
+>Пусть $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ - функция $n$ переменных, заданная в некоторой области $D$. Тогда матрицей Гессе функции $f$ называется матрица $H(f)$, составленная из вторых частных производных функции $f$:
+>$$
+H(f) =
+\begin{pmatrix}
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_n} \
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_n} \
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n^2}
+\end{pmatrix}
+$$