From 46a7fcafe26cb0efa778b3a171085cd3836995fa Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Remizov_Kirill <woron0987654321@gmail.com>
Date: Thu, 20 Jun 2024 22:05:20 +0300
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=D0=9F=D0=BE=D0=BB=D0=BD=D0=BE=D1=86=D0=B5?=
 =?UTF-8?q?=D0=BD=D0=BD=D0=BE=20=D0=B3=D0=BE=D1=82=D0=BE=D0=B2=20=D0=92?=
 =?UTF-8?q?=D1=82=D0=BE=D1=80=D0=BE=D0=B9=20=D0=B1=D0=BB=D0=BE=D0=BA=20?=
 =?UTF-8?q?=D0=B1=D0=B8=D0=BB=D0=B5=D1=82=D0=BE=D0=B2?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md  |  46 ++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md | 134 ++++++++++++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md  |  52 ++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md  |  79 +++++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md  |  67 ++++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md  | 140 ++++++++++++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md  |  81 ++++++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md  |  97 +++++++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md  | 150 ++++++++++++++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md  | 124 +++++++++++++++
 1 курс/2 семестр/Вышмат/Вопросы.md            |  20 +--
 11 files changed, 980 insertions(+), 10 deletions(-)
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md
 create mode 100644 1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md

diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md
new file mode 100644
index 0000000..6f4ab10
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md	
@@ -0,0 +1,46 @@
+>Понятие функции двух переменных:
+
+Определение:
+
+Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений $(x, y)$ из некоторого подмножества $D$ плоскости $R^2$ ставит в соответствие некоторое число $z$. Это число обозначается $z = f(x, y)$ и называется значением функции $f$ в точке $(x, y)$. Множество $D$ называется областью определения функции $f$.
+
+
+$f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x, y)$
+
+
+Примеры:
+
+1. $f(x, y) = x^2 + y^2$
+2. $f(x, y) = \sin(x + y)$
+3. $f(x, y) = xy^2 + 3x - 2y$
+
+График функции двух переменных:
+
+Графиком функции $z = f(x, y)$ называется множество всех точек $(x, y, z)$ в пространстве $R^3$, координаты которых удовлетворяют уравнению $z = f(x, y)$.
+
+
+
+$G_f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x, y), (x, y) \in D \}$
+
+Область определения:
+
+Областью определения функции $f(x, y)$ называется множество всех таких пар $(x, y)$, для которых существует значение функции $f(x, y)$.
+
+
+$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists f(x, y) \}$
+
+Примеры областей определения:
+
+1. $f(x, y) = \sqrt{x^2 - y^2}$
+
+Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x^2 - y^2 \geq 0$. В LATEX это выглядит так:
+
+
+$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}$
+
+2. $f(x, y) = \ln(x + y)$
+
+Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x + y > 0$. В LATEX это выглядит так:
+
+
+$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}$
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md
new file mode 100644
index 0000000..ed75c8b
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md	
@@ -0,0 +1,134 @@
+>Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума:
+
+Определение:
+
+Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой области $D$. Точка $(x_0, y_0)$ из области $D$ называется точкой экстремума функции $f(x, y)$, если существует такая окрестность $U$ точки $(x_0, y_0)$, что для всех точек $(x, y)$ из этой окрестности выполняется одно из следующих условий:
+
+1. $f(x_0, y_0) \leq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой минимума функции $f(x, y)$;
+
+2. $f(x_0, y_0) \geq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой максимума функции $f(x, y)$.
+
+Если в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$ выполняется одно из этих условий, но не выполняется другое, то точка $(x_0, y_0)$ называется точкой седловой точки функции $f(x, y)$.
+
+Необходимое условие экстремума:
+
+Теорема. Если точка $(x_0, y_0)$ является точкой экстремума функции $f(x, y)$, то необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
+
+1. $f'_x(x_0, y_0) = 0$;
+
+2. $f'_y(x_0, y_0) = 0$.
+
+$$
+f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
+$$
+
+Замечание:
+
+Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка $(x_0, y_0)$ называется стационарной точкой функции $f(x, y)$.
+
+Достаточное условие экстремума:
+
+Теорема. Пусть точка $(x_0, y_0)$ является стационарной точкой функции $f(x, y)$, т.е. выполняются условия первого порядка:
+
+$$
+f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
+$$
+
+Тогда:
+
+1. Если $f''_xx(x_0, y_0) > 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
+
+2. Если $f''_xx(x_0, y_0) < 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума функции $f(x, y)$.
+
+3. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 < 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
+
+4. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 = 0$, то достаточного условия экстремума нет.
+
+
+Примеры:
+
+1. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные первого порядка:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4
+$$
+
+Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
+
+$$
+\begin{cases}
+2x - 2 = 0, \\
+2y - 4 = 0
+\end{cases}
+$$
+
+Получим точку $(1, 2)$.
+
+Найдем частные производные второго порядка:
+
+$$
+f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = 2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
+$$
+
+Вычислим определитель матрицы Гессе:
+
+$$
+D = f''\_xx(1, 2)f''\_yy(1, 2) - f''\_xy(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
+$$
+
+Так как $f''\_xx(1, 2) > 0$, то точка $(1, 2)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
+
+Ответ: Точка $(1, 2)$ - точка минимума функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
+
+2. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные первого порядка:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4
+$$
+
+Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
+
+$$
+\begin{cases}
+2x + 2 = 0, \\
+-2y + 4 = 0
+\end{cases}
+$$
+
+Получим точку $(-1, 2)$.
+
+Найдем частные производные второго порядка:
+
+$$
+f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = -2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
+$$
+
+Вычислим определитель матрицы Гессе:
+
+$$
+D = f''\_xx(-1, 2)f''\_yy(-1, 2) - f''\_xy(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0
+$$
+
+Так как $D < 0$, то точка $(-1, 2)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
+
+Ответ: Точка $(-1, 2)$ - седловая точка функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
+
+>Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе.
+>Пусть $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ - функция $n$ переменных, заданная в некоторой области $D$. Тогда матрицей Гессе функции $f$ называется матрица $H(f)$, составленная из вторых частных производных функции $f$:
+>$$
+H(f) =
+\begin{pmatrix}
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_n} \
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_n} \
+\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
+\frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n^2}
+\end{pmatrix}
+$$
\ No newline at end of file
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md
new file mode 100644
index 0000000..eefebdd
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md	
@@ -0,0 +1,52 @@
+> Определения предела функции двух переменных:
+
+Предел функции одной переменной определяется как значение, к которому функция стремится при приближении аргумента к некоторому значению. В случае функции двух переменных, предел определяется как значение, к которому функция стремится при приближении пары аргументов $(x, y)$ к некоторой точке $(x_0, y_0)$.
+
+Определение:
+
+Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$, кроме самой этой точки. Говорят, что функция $f(x, y)$ имеет предел $A$ при $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - A| < \epsilon$.
+
+$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - A| < \epsilon$
+
+Замечание:
+
+Знак $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ называется расстоянием между точками $(x, y)$ и $(x_0, y_0)$.
+
+Примеры:
+
+1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
+
+Решение:
+
+Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ не имеет предела, так как знаменатель стремится к нулю при $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
+
+Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ не существует.
+
+2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
+
+Решение:
+
+Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ стремится к нулю, так как $r$ в числителе имеет степень выше, чем в знаменателе.
+
+Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ равен нулю.
+
+Замечание:
+
+Метод приведения декартовых координат к полярным состоит в следующем:
+
+1. Вычислить радиус-вектор точки $r$ по формуле:
+
+$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$
+
+2. Вычислить угол $\theta$ между положительным направлением горизонтальной оси и радиус-вектором точки по формуле:
+
+$$
+\theta = \begin{cases}
+\arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{если } x > 0, \\
+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{если } x < 0, y \geq 0, \\
+\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi, & \text{если } x < 0, y < 0, \\
+\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y > 0, \\
+-\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y < 0, \\
+\text{не определено}, & \text{если } x = 0, y = 0.
+\end{cases}
+$$
\ No newline at end of file
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md
new file mode 100644
index 0000000..4faca8f
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md	
@@ -0,0 +1,79 @@
+> Арифметические свойства предела функции двух переменных
+
+Арифметические свойства предела функции двух переменных:
+
+1. Сумма пределов равна пределу суммы:
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) + g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
+$$
+
+2. Произведение пределов равно пределу произведения:
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) \cdot g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
+$$
+
+3. Частное пределов равно пределу частного (при условии, что предел знаменателя не равен нулю):
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)}
+$$
+
+4. Предел степени равен степени предела (при условии, что предел основания положителен):
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y))^n = (\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y))^n
+$$
+
+5. Предел корня равен корню предела (при условии, что предел подкоренного выражения неотрицателен):
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}
+$$
+
+Примеры:
+
+1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
+
+Решение:
+
+Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
+$$
+
+Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2\theta}
+$$
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 \cos 2\theta}{r^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta
+$$
+
+Так как $\cos 2\theta$ - ограниченная функция, то предел $\lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta$ не существует. Значит, предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также не существует.
+
+2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \frac{x y^2}{x^2 + y^4}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
+
+Решение:
+
+Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4}
+$$
+
+Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0
+$$
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = 0
+$$
+
+Так как оба предела равны нулю, то предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также равен нулю.
\ No newline at end of file
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md
new file mode 100644
index 0000000..0ad87c3
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md	
@@ -0,0 +1,67 @@
+> Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.
+
+Определение:
+
+Функция $f(x, y)$ называется непрерывной в точке $(x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon$.
+
+В LATEX это выглядит так:
+
+$$
+\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon
+$$
+
+Замечание:
+
+Если функция $f(x, y)$ непрерывна в точке $(x\_0, y\_0)$, то ее значение в этой точке равно пределу функции при приближении к этой точке.
+
+Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных:
+
+1. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией:
+
+$$
+f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) + g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
+$$
+
+2. Произведение непрерывных функций является непрерывной функцией:
+
+$$
+f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) \cdot g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
+$$
+
+3. Частное непрерывных функций является непрерывной функцией (при условии, что знаменатель не равен нулю в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$):
+
+$$
+f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0), g(x, y) \neq 0 \text{ в некоторой окрестности точки } (x_0, y_0) \Rightarrow \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
+$$
+
+4. Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией:
+
+$$
+f(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0), g(u) \text{ непрерывна в точке } u_0 = f(x_0, y_0) \Rightarrow g(f(x, y)) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
+$$
+
+Примеры:
+
+1. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2)$.
+
+Решение:
+
+Заметим, что функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ определена во всех точках плоскости. Поэтому мы можем найти ее предел в точке $(1, 2)$:
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 2)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 2^2 = 5
+$$
+
+Так как предел функции в точке $(1, 2)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ непрерывна в точке $(1, 2)$.
+
+2. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ в точке $(1, 1)$.
+
+Решение:
+
+Заметим, что функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти ее предел в точке $(1, 1)$:
+
+$$
+\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 1)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{1^2 - 1^2}{1^2 + 1^2} = 0
+$$
+
+Так как предел функции в точке $(1, 1)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ непрерывна в точке $(1, 1)$.
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md
new file mode 100644
index 0000000..23e0c16
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md	
@@ -0,0 +1,140 @@
+> Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства:
+
+Определение:
+
+Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
+
+$$
+\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
+$$
+
+Обозначается она следующим образом:
+
+$$
+f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
+$$
+
+Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
+
+$$
+\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
+$$
+
+Обозначается она следующим образом:
+
+$$
+f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
+$$
+
+Дифференциалом первого порядка функции $f(x, y)$ в точке $(x\_0, y\_0)$ называется линейная функция $\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y$, где $\Delta x$ и $\Delta y$ - приращения переменных $x$ и $y$ соответственно.
+
+$$
+\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y
+$$
+
+Арифметические свойства частных производных и дифференциала:
+
+1. Линейность частных производных:
+
+$$
+(kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y)
+$$
+
+2. Произведение функций:
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y)
+$$
+
+3. Частное функций:
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+4. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов:
+
+$$
+\Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y)
+$$
+
+5. Дифференциал произведения функций равен сумме произведений функций на дифференциалы:
+
+$$
+\Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y)
+$$
+
+6. Дифференциал частного функций равен частному от разности произведений функций на дифференциалы на квадрат знаменателя:
+
+$$
+\Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+Примеры:
+
+1. Найти частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
+
+Решение:
+
+Найдем частную производную по переменной $x$:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16
+$$
+
+Найдем частную производную по переменной $y$:
+
+$$
+f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13
+$$
+
+Ответ: $f'_x(1, 2) = 16$, $f'_y(1, 2) = 13$.
+
+2. Найти дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные функции:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
+$$
+
+Найдем дифференциал функции:
+
+$$
+\Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y
+$$
+
+Ответ: $\Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y$.
+
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md
new file mode 100644
index 0000000..819b906
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md	
@@ -0,0 +1,81 @@
+>Уравнение касательной плоскости к поверхности:
+
+Определение:
+
+Пусть $z = f(x, y)$ - поверхность, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0, z_0)$, где $z_0 = f(x_0, y_0)$. Касательной плоскостью к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ называется плоскость, проходящая через точку $(x_0, y_0, z_0)$ и имеющая направленный вектор, перпендикулярный вектору нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$.
+
+Вектор нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно найти по формуле:
+
+$$
+\mathbf{n} = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1\right)
+$$
+
+Уравнение касательной плоскости к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно записать в следующем виде:
+
+$$
+(x - x_0)f'_x(x_0, y_0) + (y - y_0)f'_y(x_0, y_0) - (z - z_0) = 0
+$$
+
+Примеры:
+
+1. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные функции $z = x^2 + y^2$:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4
+$$
+
+Найдем вектор нормали к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
+
+$$
+\mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right)
+$$
+
+Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
+
+$$
+(x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0
+$$
+
+Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:
+
+$$
+2x + 4y - z = 3
+$$
+
+Ответ: $2x + 4y - z = 3$.
+
+2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные функции $z = \sin(x + y)$:
+
+$$
+f'_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y)
+$$
+
+Подставим значения $x = \pi/4$ и $y = \pi/4$:
+
+$$
+f'_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0
+$$
+
+Заметим, что частные производные функции $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ горизонтальна.
+
+Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$:
+
+$$
+z = 1
+$$
+
+Ответ: $z = 1$.
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md
new file mode 100644
index 0000000..832be68
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md	
@@ -0,0 +1,97 @@
+>Производная по направлению. Градиент:
+
+Определение:
+
+Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Производной функции $f(x, y)$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (l_1, l_2)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
+
+$$
+\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t}
+$$
+
+Обозначается она следующим образом:
+
+$$
+\frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
+$$
+
+Градиентом функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется вектор, составленный из частных производных функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
+
+$$
+\nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right)
+$$
+
+Свойства производной по направлению и градиента:
+
+1. Линейность производной по направлению:
+
+$$
+\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}
+$$
+
+2. Произведение функций:
+
+$$
+\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}
+$$
+
+3. Частное функций:
+
+$$
+\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}
+$$
+
+4. Связь производной по направлению и градиента:
+
+$$
+\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
+$$
+
+5. Направление максимального увеличения функции:
+
+Направление максимального увеличения функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается вектором градиента $\nabla f(x_0, y_0)$.
+
+Примеры:
+
+1. Найти производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
+$$
+
+Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
+
+$$
+\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
+$$
+
+Найдем производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$:
+
+$$
+\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71
+$$
+
+Ответ: $\frac{df}{dt}(1, 2) = 71$.
+
+2. Найти направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
+
+Решение:
+
+Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
+
+$$
+\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
+$$
+
+Направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$ задается вектором градиента $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
+
+Ответ: $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md
new file mode 100644
index 0000000..0630437
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md	
@@ -0,0 +1,150 @@
+>Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
+
+Определение:
+
+Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
+
+$$
+\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
+$$
+
+Обозначается она следующим образом:
+
+$$
+f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
+$$
+
+Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
+
+$$
+\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
+$$
+
+Обозначается она следующим образом:
+
+$$
+f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
+$$
+
+Дифференциалом первого порядка функции $f(x, y)$ в точке $(x\_0, y\_0)$ называется линейная функция $\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y$, где $\Delta x$ и $\Delta y$ - приращения переменных $x$ и $y$ соответственно.
+
+$$
+\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y
+$$
+
+Частные производные и дифференциалы высших порядков определяются аналогично. Например, вторыми частными производными функции $f(x, y)$ называются производные от частных производных первого порядка:
+
+$$
+f''_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)
+\quad f''_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y)
+\quad f''_{yx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y)
+\quad f''_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)
+$$
+
+Свойства частных производных и дифференциалов высших порядков:
+
+1. Линейность частных производных:
+
+$$
+(kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y)
+$$
+
+2. Произведение функций:
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)
+$$
+
+3. Частные функций:
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+4. Смешанные производные:
+
+$$
+f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y)
+$$
+
+Примеры:
+
+1. Найти частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
+$$
+
+Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
+
+$$
+f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
+$$
+
+Ответ: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$.
+
+2. Найти дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
+$$
+
+Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
+
+$$
+f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6
+$$
+
+Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
+
+$$
+d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2
+$$
+
+Ответ: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$.
\ No newline at end of file
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md
new file mode 100644
index 0000000..d83df22
--- /dev/null
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md	
@@ -0,0 +1,124 @@
+>Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
+
+Определение:
+
+Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Формула Тейлора для функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид:
+
+$$
+f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
+$$
+
+Здесь $f'_x(x_0, y_0)$ и $f'_y(x_0, y_0)$ - частные производные функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$, $o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})$ - остаточный член в форме Пеано.
+
+Замечание:
+
+Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что:
+
+$$
+o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot \alpha(x, y)
+$$
+
+причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$.
+
+Свойства формулы Тейлора:
+
+1. Линейность:
+
+$$
+(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)
+$$
+
+2. Произведение функций:
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)
+$$
+
+3. Частное функций:
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+4. Связь между частными производными и дифференциалами:
+
+$$
+df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy
+$$
+
+5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано:
+
+$$
+f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
+$$
+
+Примеры:
+
+1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
+$$
+
+Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
+
+$$
+df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy
+$$
+
+Ответ: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$.
+
+2. Найти приближенное значение функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1,1, 2, 201)$ с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
+
+Решение:
+
+Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$:
+
+$$
+f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})
+$$
+
+Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$:
+
+$$
+f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4
+$$
+
+$$
+f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5
+$$
+
+$$
+f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7
+$$
+
+Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$:
+
+$$
+f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13
+$$
+
+Ответ: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$.
+
diff --git a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Вопросы.md b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Вопросы.md
index e334e83..4d15118 100644
--- a/1 курс/2 семестр/Вышмат/Вопросы.md	
+++ b/1 курс/2 семестр/Вышмат/Вопросы.md	
@@ -22,16 +22,16 @@
 
 # Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
 ## Теория
-1. Понятие функции двух переменных.
-2. Определения предела функции двух переменных.
-3. Арифметические свойства предела функции двух переменных.
-4. Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.
-5. Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства.
-6. Уравнение касательной плоскости к поверхности.
-7. Производная по направлению. Градиент.
-8. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
-9. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
-10. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
+1. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1|Понятие функции двух переменных.]]
+2. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2|Определения предела функции двух переменных.]]
+3. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3|Арифметические свойства предела функции двух переменных.]]
+4. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4|Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.]]
+5. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5|Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства.]]
+6. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6|Уравнение касательной плоскости к поверхности.]]
+7. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7|Производная по направлению. Градиент.]]
+8. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8|Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.]]
+9. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9|Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.]]
+10. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10|Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.]]
 
 ## Практика
 1. Уметь вычислять предел функции двух переменных.