Полноценно готов Первый блок билетов

1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3.md

@@ -0,0 +1,37 @@
+> Замена переменных в неопределенном интеграле
+
+>Основные принципы замены переменных
+
+Пусть дано выражение неопределенного интеграла $\int f(x) \, dx$. Целью замены переменных является нахождение такой функции $\varphi(t)$ и такого интервала $[a, b]$, что выполняются следующие условия:
+
+a) $\varphi(t)$ дифференцируема на $[a, b]$;
+
+b) $f(x)$ непрерывна на $\varphi([a, b])$;
+
+c) $\int f(x) \, dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt$.
+
+При этом новая переменная $t$ вводится соотношением $x = \varphi(t)$, а дифференциал $dx$ выражается через $dt$ следующим образом: $dx = \varphi'(t) dt$.
+
+>Правило замены переменных
+
+Правило замены переменных в неопределенном интеграле формулируется следующим образом:
+
+$\int f(x) \, dx = \int f(\varphi(t)) \varphi'(t) \, dt + C$,
+
+где $C$ - произвольная постоянная.
+
+>Примеры замены переменных
+
+Рассмотрим несколько примеров замены переменных в неопределенных интегралах.
+
+Пример 1. Вычислить интеграл $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$.
+
+Решение. Заменим переменную $x = \sin t$, тогда $dx = \cos t \, dt$ и
+
+$\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int \frac{\sin t}{\sqrt{1 - \sin^2 t}} \cos t \, dt = \int \cos t \, dt = \sin t + C = \sqrt{1 - x^2} + C$.
+
+Пример 2. Вычислить интеграл $\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx$.
+
+Решение. Заменим переменную $x = tg(t)$, тогда $dx = \frac{1}{\cos^2 t} \, dt$ и
+
+$\int \frac{1}{1 + x^2} \, dx = \int \frac{1}{1 + tg^2 (t)} \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = \int \frac{\cos^2 t}{\sin^2 t + \cos^2 t} \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = \int \frac{1}{\cos^2 t} \, dt = tg(t) + C = x + C$.

1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4.md

@@ -0,0 +1,50 @@
+> Интегрирование по частям в неопределенном интеграле:
+
+> Формула интегрирования по частям
+
+Пусть даны две функции $u(x)$ и $v(x)$, дифференцируемые на некотором интервале $[a, b]$. Тогда выполняется следующая формула интегрирования по частям:
+
+$\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) \, dx + C$,
+
+где $C$ - произвольная постоянная.
+
+Эта формула может быть доказана с помощью правила произведения для дифференцирования:
+
+$(u(x) v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x)$.
+
+> Принципы интегрирования по частям
+
+При вычислении неопределенного интеграла с помощью интегрирования по частям необходимо выбрать одну из функций $u(x)$ и $v(x)$, дифференцируемых на некотором интервале $[a, b]$, таким образом, чтобы интеграл $\int v(x) u'(x) \, dx$ был проще исходного интеграла $\int u(x) v'(x) \, dx$.
+
+В качестве критерия выбора функций $u(x)$ и $v(x)$ можно использовать следующее правило:
+
+- Если под знаком интеграла есть произведение функций, то следует выбрать в качестве $u(x)$ ту функцию, которая дифференцируется проще, а в качестве $v(x)$ - ту функцию, которая интегрируется проще.
+- Если под знаком интеграла есть функция, которая может быть представлена в виде произведения двух функций, то следует попытаться выделить одну из этих функций в качестве $u(x)$ или $v(x)$ и применить формулу интегрирования по частям.
+
+> Примеры интегрирования по частям
+
+Рассмотрим несколько примеров интегрирования по частям в неопределенных интегралах.
+
+Пример 1. Вычислить интеграл $\int x \cos x \, dx$.
+
+Решение. Заметим, что $\cos x$ дифференцируется проще, чем $x$, поэтому выберем $u(x) = x$, $v'(x) = \cos x$. Тогда $u'(x) = 1$, $v(x) = \sin x$ и
+
+$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$.
+
+Пример 2. Вычислить интеграл $\int e^x \sin x \, dx$.
+
+Решение. Заметим, что $\sin x$ дифференцируется проще, чем $e^x$, поэтому выберем $u(x) = e^x$, $v'(x) = \sin x$. Тогда $u'(x) = e^x$, $v(x) = -\cos x$ и
+
+$\int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$.
+
+Для вычисления интеграла $\int e^x \cos x \, dx$ снова применим интегрирование по частям, выбрав $u(x) = e^x$, $v'(x) = \cos x$. Тогда $u'(x) = e^x$, $v(x) = \sin x$ и
+
+$\int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx$.
+
+Получим систему уравнений:
+
+$\begin{cases} \int e^x \sin x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx, \\ \int e^x \cos x \, dx = e^x \sin x - \int e^x \sin x \, dx. \end{cases}$
+
+Решив эту систему, получим:
+
+$\int e^x \sin x \, dx = \frac{1}{2} e^x (\sin x - \cos x) + C$.

1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/5.md

@@ -0,0 +1,74 @@
+>Простейшие рациональные дроби. Разложение правильной дроби на простейшие. Интегрирование простейших рациональных дробей:
+
+> Простейшие рациональные дроби
+
+Простейшая рациональная дробь - это рациональная дробь, в знаменателе которой стоит степень неприводимого многочлена. То есть простейшая рациональная дробь имеет вид:
+
+$\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P(x)}{(x - a)^k}$,
+
+где $P(x)$ и $Q(x)$ - многочлены, $a$ - корень многочлена $Q(x)$, $k$ - натуральное число.
+
+> Разложение правильной дроби на простейшие
+
+Разложение правильной рациональной дроби на простейшие заключается в представлении ее в виде суммы простейших рациональных дробей. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
+
+1. Разложить знаменатель на множители, представляющие собой степени неприводимых многочленов.
+2. Разложить числитель по степеням этих неприводимых многочленов с помощью метода неопределенных коэффициентов.
+3. Приравнять полученные выражения для числителя и знаменателя и найти значения неопределенных коэффициентов.
+
+Пример. Разложить на простейшие дроби $\frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)}$.
+
+Решение. Разложим знаменатель на множители: $(x - 1)^2 (x + 2)$. Запишем числитель в виде суммы неопределенных коэффициентов: $3x + 1 = A (x - 1)^2 + B (x - 1) + C (x + 2)$. Приравняем числитель и знаменатель:
+
+$(3x + 1) = A (x - 1)^2 + B (x - 1) + C (x + 2)$.
+
+Найдем значения неопределенных коэффициентов, подставляя в это уравнение различные значения $x$. Получим: $A = -1$, $B = 4$, $C = 2$. Таким образом, разложение на простейшие дроби имеет вид:
+
+$\frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)} = -\frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{4}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}$.
+
+> Интегрирование простейших рациональных дробей
+
+Для интегрирования простейших рациональных дробей используются следующие формулы:
+
+$\int \frac{dx}{(x - a)^k} = -\frac{1}{(k - 1) (x - a)^{k - 1}} + C$, где $k \neq 1$;
+
+$\int \frac{dx}{x - a} = \ln |x - a| + C$;
+
+$\int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} arctg(\frac{x}{a}) + C$;
+
+$\int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left|\frac{x - a}{x + a}\right| + C$.
+
+Пример. Вычислить интеграл $\int \frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)} dx$.
+
+Решение. Разложим дробь на простейшие:
+
+$\frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)} = -\frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{4}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}$.
+
+Теперь вычислим интеграл:
+
+$\int \frac{3x + 1}{(x - 1)^2 (x + 2)} dx = \int \left(-\frac{1}{(x - 1)^2} + \frac{4}{x - 1} + \frac{2}{x + 2}\right) dx =$
+
+$= -\int \frac{dx}{(x - 1)^2} + 4 \int \frac{dx}{x - 1} + 2 \int \frac{dx}{x + 2} = \frac{1}{x - 1} + 4 \ln |x - 1| + 2 \ln |x + 2| + C$.
+
+> Интегрирование методом неопределенных коэффициентов
+
+Метод неопределенных коэффициентов - это метод вычисления неопределенных интегралов, основанный на представлении интеграла в виде суммы простейших рациональных дробей с неопределенными коэффициентами. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:
+
+1. Разложить знаменатель на множители, представляющие собой степени неприводимых многочленов.
+2. Записать числитель в виде суммы неопределенных коэффициентов, соответствующих степеням неприводимых многочленов в знаменателе.
+3. Приравнять полученные выражения для числителя и знаменателя и найти значения неопределенных коэффициентов.
+
+Пример. Вычислить интеграл $\int \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - x^2} dx$.
+
+Решение. Разложим знаменатель на множители: $x^3 - x^2 = x^2 (x - 1)$. Запишем числитель в виде суммы неопределенных коэффициентов: $x^2 + 2x + 1 = A x^2 + B x + C + \frac{D}{x} + \frac{E}{x - 1}$. Приравняем числитель и знаменатель:
+
+$x^2 + 2x + 1 = A x^2 + B x + C + \frac{D}{x} + \frac{E}{x - 1}$.
+
+Найдем значения неопределенных коэффициентов, подставляя в это уравнение различные значения $x$. Получим: $A = 1$, $B = 2$, $C = 1$, $D = 0$, $E = -1$. Таким образом, разложение на простейшие дроби имеет вид:
+
+$\frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - x^2} = \frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x^2}$.
+
+Теперь вычислим интеграл:
+
+$\int \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - x^2} dx = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{2}{x - 1} + \frac{1}{x^2}\right) dx = \ln |x| + 2 \ln |x - 1| - \frac{1}{x} + C$.
+