Полноценно готов Второй блок билетов
This commit is contained in:
Remizov_Kirill
46
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md
Normal file
46
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1.md
Normal file
@ -0,0 +1,46 @@
|
||||
>Понятие функции двух переменных:
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
|
||||
Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений $(x, y)$ из некоторого подмножества $D$ плоскости $R^2$ ставит в соответствие некоторое число $z$. Это число обозначается $z = f(x, y)$ и называется значением функции $f$ в точке $(x, y)$. Множество $D$ называется областью определения функции $f$.
|
||||
|
||||
|
||||
$f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x, y)$
|
||||
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. $f(x, y) = x^2 + y^2$
|
||||
2. $f(x, y) = \sin(x + y)$
|
||||
3. $f(x, y) = xy^2 + 3x - 2y$
|
||||
|
||||
График функции двух переменных:
|
||||
|
||||
Графиком функции $z = f(x, y)$ называется множество всех точек $(x, y, z)$ в пространстве $R^3$, координаты которых удовлетворяют уравнению $z = f(x, y)$.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
$G_f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x, y), (x, y) \in D \}$
|
||||
|
||||
Область определения:
|
||||
|
||||
Областью определения функции $f(x, y)$ называется множество всех таких пар $(x, y)$, для которых существует значение функции $f(x, y)$.
|
||||
|
||||
|
||||
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists f(x, y) \}$
|
||||
|
||||
Примеры областей определения:
|
||||
|
||||
1. $f(x, y) = \sqrt{x^2 - y^2}$
|
||||
|
||||
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x^2 - y^2 \geq 0$. В LATEX это выглядит так:
|
||||
|
||||
|
||||
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}$
|
||||
|
||||
2. $f(x, y) = \ln(x + y)$
|
||||
|
||||
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x + y > 0$. В LATEX это выглядит так:
|
||||
|
||||
|
||||
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}$
|
||||
134
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md
Normal file
134
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10.md
Normal file
@ -0,0 +1,134 @@
|
||||
>Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума:
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
|
||||
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой области $D$. Точка $(x_0, y_0)$ из области $D$ называется точкой экстремума функции $f(x, y)$, если существует такая окрестность $U$ точки $(x_0, y_0)$, что для всех точек $(x, y)$ из этой окрестности выполняется одно из следующих условий:
|
||||
|
||||
1. $f(x_0, y_0) \leq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой минимума функции $f(x, y)$;
|
||||
|
||||
2. $f(x_0, y_0) \geq f(x, y)$ для всех $(x, y) \in U$ - точка $(x_0, y_0)$ называется точкой максимума функции $f(x, y)$.
|
||||
|
||||
Если в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$ выполняется одно из этих условий, но не выполняется другое, то точка $(x_0, y_0)$ называется точкой седловой точки функции $f(x, y)$.
|
||||
|
||||
Необходимое условие экстремума:
|
||||
|
||||
Теорема. Если точка $(x_0, y_0)$ является точкой экстремума функции $f(x, y)$, то необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
|
||||
|
||||
1. $f'_x(x_0, y_0) = 0$;
|
||||
|
||||
2. $f'_y(x_0, y_0) = 0$.
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Замечание:
|
||||
|
||||
Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка $(x_0, y_0)$ называется стационарной точкой функции $f(x, y)$.
|
||||
|
||||
Достаточное условие экстремума:
|
||||
|
||||
Теорема. Пусть точка $(x_0, y_0)$ является стационарной точкой функции $f(x, y)$, т.е. выполняются условия первого порядка:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Тогда:
|
||||
|
||||
1. Если $f''_xx(x_0, y_0) > 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
|
||||
|
||||
2. Если $f''_xx(x_0, y_0) < 0$ и $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является точкой максимума функции $f(x, y)$.
|
||||
|
||||
3. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 < 0$, то точка $(x_0, y_0)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
|
||||
|
||||
4. Если $D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 = 0$, то достаточного условия экстремума нет.
|
||||
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные первого порядка:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x - 2 = 0, \\
|
||||
2y - 4 = 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Получим точку $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
Найдем частные производные второго порядка:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = 2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Вычислим определитель матрицы Гессе:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
D = f''\_xx(1, 2)f''\_yy(1, 2) - f''\_xy(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Так как $f''\_xx(1, 2) > 0$, то точка $(1, 2)$ является точкой минимума функции $f(x, y)$.
|
||||
|
||||
Ответ: Точка $(1, 2)$ - точка минимума функции $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5$.
|
||||
|
||||
2. Найти экстремумы функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные первого порядка:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{cases}
|
||||
2x + 2 = 0, \\
|
||||
-2y + 4 = 0
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Получим точку $(-1, 2)$.
|
||||
|
||||
Найдем частные производные второго порядка:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = -2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Вычислим определитель матрицы Гессе:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
D = f''\_xx(-1, 2)f''\_yy(-1, 2) - f''\_xy(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Так как $D < 0$, то точка $(-1, 2)$ является седловой точкой функции $f(x, y)$.
|
||||
|
||||
Ответ: Точка $(-1, 2)$ - седловая точка функции $f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5$.
|
||||
|
||||
>Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе.
|
||||
>Пусть $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ - функция $n$ переменных, заданная в некоторой области $D$. Тогда матрицей Гессе функции $f$ называется матрица $H(f)$, составленная из вторых частных производных функции $f$:
|
||||
>$$
|
||||
H(f) =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_1 \partial x\_n} \
|
||||
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_2 \partial x\_n} \
|
||||
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
|
||||
\frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n \partial x\_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x\_n^2}
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
$$
|
||||
52
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md
Normal file
52
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2.md
Normal file
@ -0,0 +1,52 @@
|
||||
> Определения предела функции двух переменных:
|
||||
|
||||
Предел функции одной переменной определяется как значение, к которому функция стремится при приближении аргумента к некоторому значению. В случае функции двух переменных, предел определяется как значение, к которому функция стремится при приближении пары аргументов $(x, y)$ к некоторой точке $(x_0, y_0)$.
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
|
||||
Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$, кроме самой этой точки. Говорят, что функция $f(x, y)$ имеет предел $A$ при $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - A| < \epsilon$.
|
||||
|
||||
$\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - A| < \epsilon$
|
||||
|
||||
Замечание:
|
||||
|
||||
Знак $\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}$ называется расстоянием между точками $(x, y)$ и $(x_0, y_0)$.
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \frac{1}{\cos 2\theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ не имеет предела, так как знаменатель стремится к нулю при $\theta = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
|
||||
|
||||
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ не существует.
|
||||
|
||||
2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого рассмотрим полярные координаты: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда $f(x, y) = \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta}$. При $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ имеем $r \rightarrow 0$. Но при $r \rightarrow 0$ функция $f(x, y)$ стремится к нулю, так как $r$ в числителе имеет степень выше, чем в знаменателе.
|
||||
|
||||
Поэтому предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$ равен нулю.
|
||||
|
||||
Замечание:
|
||||
|
||||
Метод приведения декартовых координат к полярным состоит в следующем:
|
||||
|
||||
1. Вычислить радиус-вектор точки $r$ по формуле:
|
||||
|
||||
$$r = \sqrt{x^2 + y^2}$$
|
||||
|
||||
2. Вычислить угол $\theta$ между положительным направлением горизонтальной оси и радиус-вектором точки по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\theta = \begin{cases}
|
||||
\arctan\left(\frac{y}{x}\right), & \text{если } x > 0, \\
|
||||
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi, & \text{если } x < 0, y \geq 0, \\
|
||||
\arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi, & \text{если } x < 0, y < 0, \\
|
||||
\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y > 0, \\
|
||||
-\frac{\pi}{2}, & \text{если } x = 0, y < 0, \\
|
||||
\text{не определено}, & \text{если } x = 0, y = 0.
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
79
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md
Normal file
79
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3.md
Normal file
@ -0,0 +1,79 @@
|
||||
> Арифметические свойства предела функции двух переменных
|
||||
|
||||
Арифметические свойства предела функции двух переменных:
|
||||
|
||||
1. Сумма пределов равна пределу суммы:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) + g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) + \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Произведение пределов равно пределу произведения:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y) \cdot g(x, y)) = \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y) \cdot \lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
3. Частное пределов равно пределу частного (при условии, что предел знаменателя не равен нулю):
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \frac{f(x, y)}{g(x, y)} = \frac{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} g(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
4. Предел степени равен степени предела (при условии, что предел основания положителен):
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} (f(x, y))^n = (\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y))^n
|
||||
$$
|
||||
|
||||
5. Предел корня равен корню предела (при условии, что предел подкоренного выражения неотрицателен):
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} \sqrt[n]{f(x, y)} = \sqrt[n]{\lim_{(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)} f(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Заметим, что функция $f(x, y)$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2}{r^2 \cos 2\theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{1}{\cos 2\theta}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^2 \cos 2\theta}{r^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Так как $\cos 2\theta$ - ограниченная функция, то предел $\lim_{r \rightarrow 0} \cos 2\theta$ не существует. Значит, предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также не существует.
|
||||
|
||||
2. Найти предел функции $f(x, y) = \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \frac{x y^2}{x^2 + y^4}$ при $(x, y) \rightarrow (0, 0)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Заметим, что функция $f(x, y)$ определена в точке $(0, 0)$ и равна нулю. Поэтому мы должны найти предел функции при приближении к этой точке. Для этого воспользуемся арифметическими свойствами предела функции двух переменных:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y) = \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} + \lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Воспользуемся полярными координатами: $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$. Тогда
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos^2 \theta \sin \theta}{r^4 \cos^4 \theta + r^2 \sin^2 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos^2 \theta \sin \theta}{r^2 \cos^4 \theta + \sin^2 \theta} = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} \frac{x y^2}{x^2 + y^4} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = \lim_{r \rightarrow 0} \frac{r \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2 \cos^2 \theta + r^4 \sin^4 \theta} = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Так как оба предела равны нулю, то предел $\lim_{(x, y) \rightarrow (0, 0)} f(x, y)$ также равен нулю.
|
||||
67
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md
Normal file
67
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4.md
Normal file
@ -0,0 +1,67 @@
|
||||
> Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
|
||||
Функция $f(x, y)$ называется непрерывной в точке $(x_0, y_0)$, если для любого $\epsilon > 0$ существует $\delta > 0$ такое, что для всех $(x, y)$ из окрестности точки $(x_0, y_0)$, удовлетворяющих неравенству $0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta$, выполняется неравенство $|f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon$.
|
||||
|
||||
В LATEX это выглядит так:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\forall \epsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 \quad \forall (x, y) \in D \quad 0 < \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} < \delta \Rightarrow |f(x, y) - f(x_0, y_0)| < \epsilon
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Замечание:
|
||||
|
||||
Если функция $f(x, y)$ непрерывна в точке $(x\_0, y\_0)$, то ее значение в этой точке равно пределу функции при приближении к этой точке.
|
||||
|
||||
Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных:
|
||||
|
||||
1. Сумма непрерывных функций является непрерывной функцией:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) + g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Произведение непрерывных функций является непрерывной функцией:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0) \Rightarrow f(x, y) \cdot g(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
3. Частное непрерывных функций является непрерывной функцией (при условии, что знаменатель не равен нулю в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$):
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x, y) \text{ и } g(x, y) \text{ непрерывны в точке } (x_0, y_0), g(x, y) \neq 0 \text{ в некоторой окрестности точки } (x_0, y_0) \Rightarrow \frac{f(x, y)}{g(x, y)} \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
4. Композиция непрерывных функций является непрерывной функцией:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x, y) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0), g(u) \text{ непрерывна в точке } u_0 = f(x_0, y_0) \Rightarrow g(f(x, y)) \text{ непрерывна в точке } (x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Заметим, что функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ определена во всех точках плоскости. Поэтому мы можем найти ее предел в точке $(1, 2)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 2)} (x^2 + y^2) = 1^2 + 2^2 = 5
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Так как предел функции в точке $(1, 2)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = x^2 + y^2$ непрерывна в точке $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
2. Проверить непрерывность функции $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ в точке $(1, 1)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Заметим, что функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ не определена в точке $(0, 0)$. Поэтому мы должны найти ее предел в точке $(1, 1)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{(x, y) \rightarrow (1, 1)} \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \frac{1^2 - 1^2}{1^2 + 1^2} = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Так как предел функции в точке $(1, 1)$ существует и равен ее значению в этой точке, то функция $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}$ непрерывна в точке $(1, 1)$.
|
||||
140
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md
Normal file
140
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md
Normal file
@ -0,0 +1,140 @@
|
||||
> Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства:
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
|
||||
Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Обозначается она следующим образом:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Обозначается она следующим образом:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Дифференциалом первого порядка функции $f(x, y)$ в точке $(x\_0, y\_0)$ называется линейная функция $\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y$, где $\Delta x$ и $\Delta y$ - приращения переменных $x$ и $y$ соответственно.
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Арифметические свойства частных производных и дифференциала:
|
||||
|
||||
1. Линейность частных производных:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Произведение функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
3. Частное функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
4. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
5. Дифференциал произведения функций равен сумме произведений функций на дифференциалы:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
6. Дифференциал частного функций равен частному от разности произведений функций на дифференциалы на квадрат знаменателя:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. Найти частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частную производную по переменной $x$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем частную производную по переменной $y$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $f'_x(1, 2) = 16$, $f'_y(1, 2) = 13$.
|
||||
|
||||
2. Найти дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные функции:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем дифференциал функции:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $\Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y$.
|
||||
|
||||
81
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md
Normal file
81
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6.md
Normal file
@ -0,0 +1,81 @@
|
||||
>Уравнение касательной плоскости к поверхности:
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
|
||||
Пусть $z = f(x, y)$ - поверхность, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0, z_0)$, где $z_0 = f(x_0, y_0)$. Касательной плоскостью к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ называется плоскость, проходящая через точку $(x_0, y_0, z_0)$ и имеющая направленный вектор, перпендикулярный вектору нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$.
|
||||
|
||||
Вектор нормали к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно найти по формуле:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\mathbf{n} = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0), -1\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Уравнение касательной плоскости к поверхности $z = f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0, z_0)$ можно записать в следующем виде:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(x - x_0)f'_x(x_0, y_0) + (y - y_0)f'_y(x_0, y_0) - (z - z_0) = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные функции $z = x^2 + y^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2x, \quad f'_y(x, y) = 2y
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(1, 2) = 2, \quad f'_y(1, 2) = 4
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем вектор нормали к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\mathbf{n} = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2), -1\right) = \left(2, 4, -1\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = x^2 + y^2$ в точке $(1, 2, 5)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(x - 1) \cdot 2 + (y - 2) \cdot 4 - (z - 5) = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Раскроем скобки и приведем уравнение к каноническому виду:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
2x + 4y - z = 3
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $2x + 4y - z = 3$.
|
||||
|
||||
2. Найти уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные функции $z = \sin(x + y)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = \cos(x + y), \quad f'_y(x, y) = \cos(x + y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = \pi/4$ и $y = \pi/4$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0, \quad f'_y(\pi/4, \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Заметим, что частные производные функции $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ равны нулю. Это означает, что касательная плоскость к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$ горизонтальна.
|
||||
|
||||
Найдем уравнение касательной плоскости к поверхности $z = \sin(x + y)$ в точке $(\pi/4, \pi/4, 1)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
z = 1
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $z = 1$.
|
||||
97
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md
Normal file
97
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7.md
Normal file
@ -0,0 +1,97 @@
|
||||
>Производная по направлению. Градиент:
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
|
||||
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Производной функции $f(x, y)$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (l_1, l_2)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + tl_1, y_0 + tl_2) - f(x_0, y_0)}{t}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Обозначается она следующим образом:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) \text{ или } \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Градиентом функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ называется вектор, составленный из частных производных функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\nabla f(x_0, y_0) = \left(f'_x(x_0, y_0), f'_y(x_0, y_0)\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Свойства производной по направлению и градиента:
|
||||
|
||||
1. Линейность производной по направлению:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{d(kf(x, y))}{dt} = k\frac{df(x, y)}{dt}, \quad \frac{d(f(x, y) \pm g(x, y))}{dt} = \frac{df(x, y)}{dt} \pm \frac{dg(x, y)}{dt}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Произведение функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{d(f(x, y) \cdot g(x, y))}{dt} = f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt} + g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
3. Частное функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{d\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)}{dt} = \frac{g(x, y) \cdot \frac{df(x, y)}{dt} - f(x, y) \cdot \frac{dg(x, y)}{dt}}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
4. Связь производной по направлению и градиента:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{df}{dt}(x_0, y_0) = \nabla f(x_0, y_0) \cdot \mathbf{l}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
5. Направление максимального увеличения функции:
|
||||
|
||||
Направление максимального увеличения функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ задается вектором градиента $\nabla f(x_0, y_0)$.
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. Найти производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем производную функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ по направлению вектора $\mathbf{l} = (2, 3)$ в точке $(1, 2)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\frac{df}{dt}(1, 2) = \nabla f(1, 2) \cdot \mathbf{l} = \left(16, 13\right) \cdot \left(2, 3\right) = 32 + 39 = 71
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $\frac{df}{dt}(1, 2) = 71$.
|
||||
|
||||
2. Найти направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем вектор градиента функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\nabla f(1, 2) = \left(f'_x(1, 2), f'_y(1, 2)\right) = \left(16, 13\right)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Направление максимального увеличения функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$ задается вектором градиента $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
|
||||
|
||||
Ответ: $\nabla f(1, 2) = \left(16, 13\right)$.
|
||||
150
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md
Normal file
150
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8.md
Normal file
@ -0,0 +1,150 @@
|
||||
>Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
|
||||
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Обозначается она следующим образом:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Обозначается она следующим образом:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Дифференциалом первого порядка функции $f(x, y)$ в точке $(x\_0, y\_0)$ называется линейная функция $\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y$, где $\Delta x$ и $\Delta y$ - приращения переменных $x$ и $y$ соответственно.
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Частные производные и дифференциалы высших порядков определяются аналогично. Например, вторыми частными производными функции $f(x, y)$ называются производные от частных производных первого порядка:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''_{xx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x, y)
|
||||
\quad f''_{xy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}(x, y)
|
||||
\quad f''_{yx}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x, y)
|
||||
\quad f''_{yy}(x, y) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Свойства частных производных и дифференциалов высших порядков:
|
||||
|
||||
1. Линейность частных производных:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(kf(x, y))''_{xx} = kf''_{xx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{xy} = kf''_{xy}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yx} = kf''_{yx}(x, y), \quad (kf(x, y))''_{yy} = kf''_{yy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \pm g''_{xx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \pm g''_{xy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \pm g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \pm g''_{yx}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \pm g''_{yy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Произведение функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xx} = f''_{xx}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{xy} = f''_{xy}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yx} = f''_{yx}(x, y) \cdot g(x, y) + f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))''_{yy} = f''_{yy}(x, y) \cdot g(x, y) + 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
3. Частные функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xx}(x, y) - 2f'_x(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{xy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{xy}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{xy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yx} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yx}(x, y) - f'_x(x, y) \cdot g'_y(x, y) - f'_y(x, y) \cdot g'_x(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yx}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)''_{yy} = \frac{g(x, y) \cdot f''_{yy}(x, y) - 2f'_y(x, y) \cdot g'_y(x, y) + f(x, y) \cdot g''_{yy}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
4. Смешанные производные:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. Найти частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $f''_{xx}(x, y) = 2y, f''_{xy}(x, y) = f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, f''_{yy}(x, y) = 6x$.
|
||||
|
||||
2. Найти дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем частные производные второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f''_{xx}(x, y) = 2y, \quad f''_{xy}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yx}(x, y) = 2x + 6y, \quad f''_{yy}(x, y) = 6x
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13, \quad f''_{xx}(1, 2) = 4, \quad f''_{xy}(1, 2) = f''_{yx}(1, 2) = 16, \quad f''_{yy}(1, 2) = 6
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем дифференциал второго порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
d^2z = f''_{xx}(1, 2) dx^2 + 2f''_{xy}(1, 2) dx dy + f''_{yy}(1, 2) dy^2 = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $d^2z = 4dx^2 + 32dxdy + 6dy^2$.
|
||||
124
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md
Normal file
124
1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9.md
Normal file
@ -0,0 +1,124 @@
|
||||
>Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
|
||||
|
||||
Определение:
|
||||
|
||||
Пусть $z = f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Формула Тейлора для функции $f(x, y)$ в точке $(x_0, y_0)$ с остаточным членом в форме Пеано имеет следующий вид:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Здесь $f'_x(x_0, y_0)$ и $f'_y(x_0, y_0)$ - частные производные функции $f(x, y)$ по переменным $x$ и $y$ соответственно в точке $(x_0, y_0)$, $o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})$ - остаточный член в форме Пеано.
|
||||
|
||||
Замечание:
|
||||
|
||||
Остаточный член в форме Пеано означает, что существует такая функция $\alpha(x, y)$, что:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2}) = \sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} \cdot \alpha(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
причем $\alpha(x, y) \rightarrow 0$ при $(x, y) \rightarrow (x\_0, y\_0)$.
|
||||
|
||||
Свойства формулы Тейлора:
|
||||
|
||||
1. Линейность:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(kf(x, y))'_{x} = kf'_{x}(x, y), \quad (kf(x, y))'_{y} = kf'_{y}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \pm g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \pm g'_{x}(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \pm g'_{y}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
2. Произведение функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{x} = f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
(f(x, y) \cdot g(x, y))'_{y} = f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)
|
||||
$$
|
||||
|
||||
3. Частное функций:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{x} = \frac{f'_{x}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{x}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_{y} = \frac{f'_{y}(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_{y}(x, y)}{g^2(x, y)}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
4. Связь между частными производными и дифференциалами:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
df = f'_x(x, y)dx + f'_y(x, y)dy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
5. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x, y) = f(x_0, y_0) + f'_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f'_y(x_0, y_0)(y - y_0) + o(\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Примеры:
|
||||
|
||||
1. Найти частные производные первого порядка и дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Найдем частные производные первого порядка функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
df = f'_x(1, 2)dx + f'_y(1, 2)dy = 16dx + 13dy
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $f'_x(1, 2) = 16, f'_y(1, 2) = 13, df = 16dx + 13dy$.
|
||||
|
||||
2. Найти приближенное значение функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1,1, 2, 201)$ с помощью формулы Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
|
||||
|
||||
Решение:
|
||||
|
||||
Воспользуемся формулой Тейлора для функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 1)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(x, y) = f(1, 1) + f'_x(1, 1)(x - 1) + f'_y(1, 1)(y - 1) + o(\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2})
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Найдем значения функции и частных производных в точке $(1, 1)$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(1, 1) = 1^2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \cdot 1^2 = 4
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_x(1, 1) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 3 \cdot 1^2 = 5
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f'_y(1, 1) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 1 = 7
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Подставим значения $x = 2,01$ и $y = 2,02$:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
f(2,01, 2,02) \approx 4 + 5(2,01 - 1) + 7(2,02 - 1) = 25,13
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Ответ: $f(2,01, 2,02) \approx 25,13$.
|
||||
|
||||
@ -22,16 +22,16 @@
|
||||
|
||||
# Раздел 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
|
||||
## Теория
|
||||
1. Понятие функции двух переменных.
|
||||
2. Определения предела функции двух переменных.
|
||||
3. Арифметические свойства предела функции двух переменных.
|
||||
4. Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.
|
||||
5. Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства.
|
||||
6. Уравнение касательной плоскости к поверхности.
|
||||
7. Производная по направлению. Градиент.
|
||||
8. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
|
||||
9. Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.
|
||||
10. Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
|
||||
1. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/1|Понятие функции двух переменных.]]
|
||||
2. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/2|Определения предела функции двух переменных.]]
|
||||
3. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/3|Арифметические свойства предела функции двух переменных.]]
|
||||
4. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/4|Определение функции двух переменных, непрерывной в точке. Арифметические свойства непрерывных функций двух переменных.]]
|
||||
5. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5|Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства.]]
|
||||
6. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/6|Уравнение касательной плоскости к поверхности.]]
|
||||
7. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/7|Производная по направлению. Градиент.]]
|
||||
8. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/8|Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.]]
|
||||
9. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/9|Формула Тейлора для функции двух переменных с остаточным членом в форме Пеано.]]
|
||||
10. [[1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/10|Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.]]
|
||||
|
||||
## Практика
|
||||
1. Уметь вычислять предел функции двух переменных.
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user