6.2 KiB
Определение экстремума функции двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума:
Определение:
Пусть z = f(x, y)
- функция двух переменных, заданная в некоторой области D
. Точка (x_0, y_0)
из области D
называется точкой экстремума функции f(x, y)
, если существует такая окрестность U
точки (x_0, y_0)
, что для всех точек (x, y)
из этой окрестности выполняется одно из следующих условий:
-
f(x_0, y_0) \leq f(x, y)
для всех(x, y) \in U
- точка(x_0, y_0)
называется точкой минимума функцииf(x, y)
; -
f(x_0, y_0) \geq f(x, y)
для всех(x, y) \in U
- точка(x_0, y_0)
называется точкой максимума функцииf(x, y)
.
Если в некоторой окрестности точки (x_0, y_0)
выполняется одно из этих условий, но не выполняется другое, то точка (x_0, y_0)
называется точкой седловой точки функции f(x, y)
.
Необходимое условие экстремума:
Теорема. Если точка (x_0, y_0)
является точкой экстремума функции f(x, y)
, то необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
-
f'_x(x_0, y_0) = 0
; -
f'_y(x_0, y_0) = 0
.
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
Замечание:
Эти условия называются условиями первого порядка. Если они выполняются, то точка (x_0, y_0)
называется стационарной точкой функции f(x, y)
.
Достаточное условие экстремума:
Теорема. Пусть точка (x_0, y_0)
является стационарной точкой функции f(x, y)
, т.е. выполняются условия первого порядка:
f'_x(x_0, y_0) = 0, \quad f'_y(x_0, y_0) = 0
Тогда:
-
Если
f''_xx(x_0, y_0) > 0
иD = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0
, то точка(x_0, y_0)
является точкой минимума функцииf(x, y)
. -
Если
f''_xx(x_0, y_0) < 0
иD = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 > 0
, то точка(x_0, y_0)
является точкой максимума функцииf(x, y)
. -
Если
D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 < 0
, то точка(x_0, y_0)
является седловой точкой функцииf(x, y)
. -
Если
D = f''_xx(x_0, y_0)f''_yy(x_0, y_0) - f''_xy(x_0, y_0)^2 = 0
, то достаточного условия экстремума нет.
Примеры:
- Найти экстремумы функции
f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5
.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
f'_x(x, y) = 2x - 2, \quad f'_y(x, y) = 2y - 4
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
\begin{cases}
2x - 2 = 0, \\
2y - 4 = 0
\end{cases}
Получим точку (1, 2)
.
Найдем частные производные второго порядка:
f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = 2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
Вычислим определитель матрицы Гессе:
D = f''\_xx(1, 2)f''\_yy(1, 2) - f''\_xy(1, 2)^2 = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0
Так как f''\_xx(1, 2) > 0
, то точка (1, 2)
является точкой минимума функции f(x, y)
.
Ответ: Точка (1, 2)
- точка минимума функции f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5
.
- Найти экстремумы функции
f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5
.
Решение:
Найдем частные производные первого порядка:
f'_x(x, y) = 2x + 2, \quad f'_y(x, y) = -2y + 4
Найдем стационарные точки, решив систему уравнений:
\begin{cases}
2x + 2 = 0, \\
-2y + 4 = 0
\end{cases}
Получим точку (-1, 2)
.
Найдем частные производные второго порядка:
f''\_xx(x, y) = 2, \quad f''\_yy(x, y) = -2, \quad f''\_xy(x, y) = 0
Вычислим определитель матрицы Гессе:
D = f''\_xx(-1, 2)f''\_yy(-1, 2) - f''\_xy(-1, 2)^2 = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0
Так как D < 0
, то точка (-1, 2)
является седловой точкой функции f(x, y)
.
Ответ: Точка (-1, 2)
- седловая точка функции f(x, y) = x^2 - y^2 + 2x + 4y - 5
.
Матрица Гессе - это квадратная матрица второго порядка, составленная из вторых частных производных функции нескольких переменных. Она названа в честь немецкого математика Отто Гессе. Пусть
f(x_1, x_2, ..., x_n)
- функцияn
переменных, заданная в некоторой областиD
. Тогда матрицей Гессе функцииf
называется матрицаH(f)
, составленная из вторых частных производных функцииf
:
H(f) =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}
\frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n}
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots
\frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{pmatrix}