47 lines
2.9 KiB
Markdown
47 lines
2.9 KiB
Markdown
|
# Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Ряды с неотрицательными членами
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде:
|
|||
|
|
$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $
|
|||
|
|
где $ a_n \geq 0 $ для всех $ n $.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Признаки сравнения
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Первый признак сравнения
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряда с неотрицательными членами, и пусть $0 \leq a_n \leq b_n$ для всех $n$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- Если ряд $\sum b_n$ сходится, то и ряд $\sum a_n$ сходится.
|
|||
|
|
- Если ряд $\sum a_n$ расходится, то и ряд $\sum b_n$ расходится.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Второй признак сравнения (предельный признак сравнения)
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел:
|
|||
|
|
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
- Если $0 < L < \infty$, то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.
|
|||
|
|
- Если $L = 0$ и ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n$ также сходится.
|
|||
|
|
- Если $L = \infty$ и ряд $\sum b_n$ расходится, то ряд $\sum a_n$ также расходится.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Примеры
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. **Сравнение с гармоническим рядом**:
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сравним его с гармоническим рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, который расходится.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения).
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. **Предельный признак сравнения**:
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сравним его с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Вычислим предел:
|
|||
|
|
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac{3}{2} > 1$), то и ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ сходится (по второму признаку сравнения).
|