55 lines
2.6 KiB
Markdown
55 lines
2.6 KiB
Markdown
|
# Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Гармонический ряд
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
|
|||
|
|
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Сходимость гармонического ряда
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:
|
|||
|
|
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как:
|
|||
|
|
$S_n \approx \ln(n) + \gamma$
|
|||
|
|
где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Обобщенный гармонический ряд
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Обобщенный гармонический ряд имеет вид:
|
|||
|
|
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$
|
|||
|
|
где $p$ — положительное число.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Сходимость обобщенного гармонического ряда
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$:
|
|||
|
|
- Если $p > 1$, то ряд сходится.
|
|||
|
|
- Если $p \leq 1$, то ряд расходится.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл:
|
|||
|
|
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для $p > 1$:
|
|||
|
|
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для $p \leq 1$:
|
|||
|
|
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ расходится.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Примеры
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. **Гармонический ряд**:
|
|||
|
|
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
|
|||
|
|
Расходится.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**:
|
|||
|
|
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
|
|||
|
|
Сходится, так как $p = 2 > 1$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**:
|
|||
|
|
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
|
|||
|
|
Расходится, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.
|