61 lines
3.9 KiB
Markdown
61 lines
3.9 KiB
Markdown
# Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости.
|
||
|
||
## Введение
|
||
|
||
Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная.
|
||
|
||
## Степенной ряд
|
||
|
||
Степенной ряд имеет вид:
|
||
$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
|
||
где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная.
|
||
|
||
## Радиус сходимости
|
||
|
||
Радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара:
|
||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
|
||
|
||
## Интервал сходимости
|
||
|
||
Интервал сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
|
||
|
||
## Промежуток сходимости
|
||
|
||
Промежуток сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$.
|
||
|
||
## Первая теорема Абеля
|
||
|
||
Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||
|
||
### Формулировка первой теоремы Абеля
|
||
|
||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||
|
||
### Доказательство
|
||
|
||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется:
|
||
$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$
|
||
|
||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
|
||
$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$
|
||
|
||
Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
|
||
|
||
## Примеры
|
||
|
||
1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**:
|
||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||
|
||
Найдем радиус сходимости:
|
||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||
|
||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
|
||
|
||
2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**:
|
||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
|
||
|
||
Найдем радиус сходимости:
|
||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$
|
||
|
||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
|