34 lines
2.1 KiB
Markdown
34 lines
2.1 KiB
Markdown
Понятие функции двух переменных
|
||
|
||
# Определение
|
||
Функцией двух переменных называется отображение, которое каждой паре значений $(x, y)$ из некоторого подмножества $D$ плоскости $\mathbb{R}^2$ ставит в соответствие некоторое число $z$. Это число обозначается $z = f(x, y)$ и называется значением функции $f$ в точке $(x, y)$. Множество $D$ называется областью определения функции $f$.
|
||
|
||
$f: D \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, \quad (x, y) \mapsto z = f(x, y)$
|
||
|
||
# Примеры
|
||
1. $f(x, y) = x^2 + y^2$
|
||
2. $f(x, y) = \sin(x + y)$
|
||
3. $f(x, y) = xy^2 + 3x - 2y$
|
||
|
||
# График функции двух переменных
|
||
Графиком функции $z = f(x, y)$ называется множество всех точек $(x, y, z)$ в пространстве $\mathbb{R}^3$, координаты которых удовлетворяют уравнению $z = f(x, y)$.
|
||
|
||
$G_f = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid z = f(x, y), (x, y) \in D \}$
|
||
|
||
# Область определения
|
||
Областью определения функции $f(x, y)$ называется множество всех таких пар $(x, y)$, для которых существует значение функции $f(x, y)$.
|
||
|
||
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid \exists f(x, y) \}$
|
||
|
||
## Примеры:
|
||
|
||
1. $f(x, y) = \sqrt{x^2 - y^2}$
|
||
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x^2 - y^2 \geq 0$. В LATEX это выглядит так:
|
||
|
||
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x^2 - y^2 \geq 0 \}$
|
||
|
||
2. $f(x, y) = \ln(x + y)$
|
||
Областью определения этой функции будет множество всех таких пар $(x, y)$, для которых $x + y > 0$. В LATEX это выглядит так:
|
||
|
||
$D_f = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid x + y > 0 \}$
|