3.7 KiB
Знакопеременные ряды. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
Введение
Знакопеременные ряды — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость.
Абсолютная сходимость
Ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n называется абсолютно сходящимся, если ряд \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| сходится.
Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда
Теорема Коши утверждает, что если ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
Формулировка теоремы
Пусть \sum_{n=1}^{\infty}a_n — абсолютно сходящийся ряд, то есть \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| сходится. Тогда ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n также сходится.
Доказательство
Рассмотрим частичные суммы ряда S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений T_n=\sum_{k=1}^{n}|a_k|.
Поскольку ряд \sum_{n=1}^{\infty}|a_n| сходится, то последовательность T_n ограничена. Это означает, что существует такое число M, что T_n\leq M для всех n.
Теперь рассмотрим разность частичных сумм S_m-S_n для m>n:
|S_m-S_n|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|=T_m-T_n
Поскольку последовательность T_n ограничена, то и разность T_m-T_n ограничена. Следовательно, последовательность S_n является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, сходится.
Таким образом, если ряд \sum_{n=1}^{\infty}a_n абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
Примеры
- Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}.
Ряд из абсолютных значений \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с p=2>1. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2} абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
- Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$:
Рассмотрим ряд
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}.
Ряд из абсолютных значений \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n} не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница.