2.7 KiB
Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
Разложение функций в степенные ряды
Разложение функции f(x) в степенной ряд в окрестности точки x_0 имеет вид:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
Ряды Тейлора и Маклорена
Ряд Тейлора
Ряд Тейлора функции f(x) в окрестности точки x_0 имеет вид:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n
где f^{(n)}(x_0) — значение $n$-й производной функции f(x) в точке x_0.
Ряд Маклорена
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда x_0=0:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
Пример
Рассмотрим функцию f(x)=e^x.
Ряд Маклорена для f(x)=e^x:
e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
Теорема
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке x_0, и пусть существует такое число M, что для всех n выполняется:
|f^{(n)}(x)|\leq M
для всех x в некоторой окрестности точки x_0. Тогда функция f(x) разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности.
Доказательство
Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора:
R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}
где \xi — некоторая точка между x_0 и x.
Поскольку |f^{(n+1)}(\xi)|\leq M, то:
|R_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}
Поскольку \frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\to0 при n\to\infty, то R_n(x)\to0 при n\to\infty. Следовательно, ряд Тейлора сходится к f(x) в окрестности точки x_0.
Примеры
-
Функция $f(x)=\sin(x)$: Ряд Маклорена для
f(x)=\sin(x):\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} -
Функция $f(x)=\cos(x)$: Ряд Маклорена для
f(x)=\cos(x):\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}