61 lines
2.7 KiB
Markdown
61 lines
2.7 KiB
Markdown
|
# Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Разложение функций в степенные ряды
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
|
|||
|
|
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Ряды Тейлора и Маклорена
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Ряд Тейлора
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
|
|||
|
|
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Ряд Маклорена
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$:
|
|||
|
|
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$:
|
|||
|
|
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Теорема
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется:
|
|||
|
|
$|f^{(n)}(x)|\leq M$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
для всех $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда функция $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Доказательство
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора:
|
|||
|
|
$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
|
|||
|
|
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq M$, то:
|
|||
|
|
$|R_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Поскольку $\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\to0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Примеры
|
|||
|
|
|
|||
|
|
1. **Функция $f(x)=\sin(x)$**:
|
|||
|
|
Ряд Маклорена для $f(x)=\sin(x)$:
|
|||
|
|
$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
2. **Функция $f(x)=\cos(x)$**:
|
|||
|
|
Ряд Маклорена для $f(x)=\cos(x)$:
|
|||
|
|
$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
|