45 lines
2.4 KiB
Markdown
45 lines
2.4 KiB
Markdown
Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ.
|
||
|
||
# Булева алгебра и её основные свойства
|
||
Система $<A, \{\&, |, \bar{}, 0, 1 \}>$
|
||
Множество **А**
|
||
2 элемента: **0, 1**
|
||
2 бинарных операций: &, |
|
||
Унарная операция: $\bar{}$
|
||
со следующими свойствами:
|
||
1. Ассоциативность
|
||
$x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z$
|
||
$x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z$
|
||
2. Коммутативность
|
||
$x \wedge y = y \wedge x$
|
||
$x \vee y = y \vee x$
|
||
3. Дистрибутивность
|
||
$x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$
|
||
$x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$
|
||
4. Идемпотентность
|
||
$x \wedge x = x$, $x \vee x = x$
|
||
## Основные функции
|
||
1. Законы де Моргана
|
||
$\overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x$
|
||
$\overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x$
|
||
2. Закон двойного отрицания
|
||
$\bar{\bar x} = x$
|
||
3. Закон противоречия (исключённого третьего)
|
||
$x \wedge \bar x = 0$
|
||
$x \vee \bar x = 1$
|
||
4. Свойства констант
|
||
$x \wedge 0 = 0$, $x \vee 1 = 1$
|
||
$x \wedge 1 = x$, $x \vee 0 = x$
|
||
$\bar1 = 0$, $\bar0 = 1$
|
||
5. Законы поглощения
|
||
$x \wedge (x \vee y) = x$
|
||
$x \vee (x \wedge y) = x$
|
||
6. Закон Блейка-Порецкого
|
||
$x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y$
|
||
$x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y$
|
||
# **Булева формула**
|
||
\- формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1
|
||
|
||
# Нормальные формы (ДНФ и КНФ)
|
||
- **ДНФ** (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или $K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m$, где $K$ - попарно различные коэффициенты
|
||
- **КНФ** (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида $D_1 \cdot D_2 \cdot \dots \cdot D_m$, где $D$ - попарно различные элементарные дизъюнкции |