University-notes/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/2.md

Булева алгебра и её основные свойства. Булевы формулы. Нормальные формы (ДНФ и КНФ). Преобразование формул к ДНФ и КНФ.

Булева алгебра и её основные свойства

Система <A, \{\&, |, \bar{}, 0, 1 \}> Множество А 2 элемента: 0, 1 2 бинарных операций: &, | Унарная операция: \bar{} со следующими свойствами:

1. Ассоциативность x \wedge (y \wedge z) = (x \wedge y) \wedge z x \vee (y \vee z) = (x \vee y) \vee z
2. Коммутативность x \wedge y = y \wedge x x \vee y = y \vee x
3. Дистрибутивность x \wedge (y \vee z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z) x \vee (y \wedge z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)
4. Идемпотентность x \wedge x = x, x \vee x = x

Основные функции

1. Законы де Моргана \overline{(x \wedge y)} = \bar y \vee \bar x \overline {(x \vee y)} = \bar y \wedge \bar x
2. Закон двойного отрицания \bar{\bar x} = x
3. Закон противоречия (исключённого третьего) x \wedge \bar x = 0 x \vee \bar x = 1
4. Свойства констант x \wedge 0 = 0, x \vee 1 = 1 x \wedge 1 = x, x \vee 0 = x \bar1 = 0, \bar0 = 1
5. Законы поглощения x \wedge (x \vee y) = x x \vee (x \wedge y) = x
6. Закон Блейка-Порецкого x \wedge (\bar x \vee y) = x \wedge y x \vee (\bar x \wedge y) = x \vee y

Булева формула

- формула, в которой используются только операции отрицания, конъюнкции и дизъюнкции с константами 0 и 1

Нормальные формы (ДНФ и КНФ)

• ДНФ (Дизъюнктивная нормальная форма) - формула вида 0 или K_1 \vee K_2 \vee \dots \vee K_m, где K - попарно различные коэффициенты
• КНФ (Конъюнктивная нормальная форма) - формула 1 или формула вида D_1 \cdot D_2 \cdot \dots \cdot D_m, где D - попарно различные элементарные дизъюнкции