35 lines
3.1 KiB
Markdown
35 lines
3.1 KiB
Markdown
## Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла
|
||
|
||
### 1. Вычисление площади области
|
||
Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла:
|
||
$$A = \iint\limits_D dA = \int\limits_a^b \int\limits_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$
|
||
|
||
### 2. Вычисление объема тела
|
||
Двойной интеграл также используется для вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=f(x,y)$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$. Если $D$ — область на плоскости $xy$, то объем тела можно вычислить как:
|
||
$$V = \iint\limits_D f(x,y)\,dA.$$
|
||
|
||
### 3. Вычисление массы пластины
|
||
Если плотность пластины $\rho(x,y)$ задана как функция координат $(x,y)$, то масса пластины, занимающей область $D$, можно вычислить с помощью двойного интеграла:
|
||
$$M = \iint\limits_D \rho(x,y)\,dA.$$
|
||
|
||
### 4. Вычисление центра масс пластины
|
||
Центр масс пластины с плотностью $\rho(x,y)$ и областью $D$ можно найти, используя двойные интегралы. Координаты центра масс $(x_c,y_c)$ определяются как:
|
||
|
||
$$x_c = \frac{\iint_D x\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$
|
||
$$y_c = \frac{\iint_D y\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$
|
||
|
||
### 5. Вычисление моментов инерции
|
||
Моменты инерции пластины относительно осей $x$ и $y$ также можно вычислить с помощью двойных интегралов. Моменты инерции $I_x$ и $I_y$ определяются как:
|
||
$$I_x = \iint\limits_D y^2\rho(x,y)\,dA,$$
|
||
|
||
### Пример
|
||
Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=x^2+y^2$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$ в пределах круга радиуса 1. Область $D$ — это круг радиуса 1, центрированный в начале координат. В полярных координатах $(r,\theta)$ область $D$ описывается как $0\leq r\leq1$ и $0\leq\theta\leq2\pi$. Тогда объем тела можно вычислить как:
|
||
$$V=\iint\limits_D (x^2+y^2)\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2r \, dr \, d\theta$$
|
||
|
||
Вычислим внутренний интеграл:
|
||
$$\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4} 4 \right]_0^1 = \frac 1 4$$
|
||
|
||
Теперь вычислим внешний интеграл:
|
||
$$\int_0^{2\pi} \frac 1 4 \, d\theta = \frac 1 4 \cdot 2\pi = \frac \pi 2$$
|
||
|
||
Таким образом, объем тела равен $\frac{\pi}{2}$. |