Highmath: edit
This commit is contained in:
2
.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json
vendored
2
.obsidian/plugins/obsidian-git/data.json
vendored
@ -12,7 +12,7 @@
|
||||
"listChangedFilesInMessageBody": false,
|
||||
"showStatusBar": true,
|
||||
"updateSubmodules": false,
|
||||
"syncMethod": "merge",
|
||||
"syncMethod": "rebase",
|
||||
"customMessageOnAutoBackup": false,
|
||||
"autoBackupAfterFileChange": false,
|
||||
"treeStructure": false,
|
||||
|
||||
@ -1,33 +1,20 @@
|
||||
# Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда.
|
||||
|
||||
## Числовые ряды
|
||||
|
||||
Числовой ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
|
||||
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n$$
|
||||
где ($a_n$ ) — общий член ряда.
|
||||
**Числовой ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$, где $a_n$ — общий член ряда.
|
||||
|
||||
## Общий член ряда
|
||||
|
||||
Общий член ряда ( $a_n$ ) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда. Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как $( a_n = ar^n )$, где ( $a$ ) — первый член, а ( $r$ ) — отношение между последующими членами.
|
||||
**Общий член ряда** ($a_n$) — это последовательность чисел, которая определяет каждый элемент ряда.
|
||||
Например, для геометрического ряда общий член может быть выражен как $a_n = ar^n$, где *a* — первый член, а *r* — отношение между последующими членами.
|
||||
|
||||
## Сумма ряда
|
||||
|
||||
Сумма ряда ( $S$ ) — это предел частичных сумм ( $S_n$ ):
|
||||
$$ S = \lim_{n \to \infty} S_n $$
|
||||
где ( $S_n$ = $\sum_{k=1}^{n}a_k$).
|
||||
**Сумма ряда** (S) — это предел *частичных сумм* $S_n$: $S = \lim\limits_{n \to \infty} S_n$, где $S_n = \sum\limits_{k=1}^n a_k$.
|
||||
|
||||
## Необходимое условие сходимости ряда
|
||||
|
||||
Необходимое условие сходимости ряда заключается в том, что если ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$) сходится, то его общий член ( $a_n$ ) должен стремиться к нулю при ( $n \to \infty$ ):
|
||||
$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$
|
||||
|
||||
Однако это условие не является достаточным. Например, гармонический ряд ( $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ ) расходится, несмотря на то, что его общий член ( $\frac{1}{n}$ ) стремится к нулю.
|
||||
Если $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *сходится*, то $\lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0$
|
||||
Однако это условие не является *достаточным*. Например, гармонический ряд ($\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$) расходится, несмотря на то, что его общий член ($\frac 1 n$) стремится к нулю.
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Геометрический ряд**:
|
||||
$\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$
|
||||
Сходится, если ( $|r| < 1$ ).
|
||||
|
||||
$\sum\limits_{n=0}^\infty ar^n$ *сходится*, если $|r| < 1$
|
||||
2. **Гармонический ряд**:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
|
||||
Расходится.
|
||||
$\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ *расходится*
|
||||
|
||||
@ -1,50 +1,35 @@
|
||||
# Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. Они играют важную роль в математике и её приложениях.
|
||||
**Функциональные ряды** — это ряды, члены которых являются функциями от переменной
|
||||
|
||||
## Функциональные ряды
|
||||
|
||||
Функциональный ряд — это ряд вида:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$
|
||||
где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.
|
||||
**Функциональный ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$, где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.
|
||||
|
||||
## Частичная сумма и сумма функционального ряда
|
||||
**Частичная сумма** функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда: $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ ^2cb2e9
|
||||
|
||||
Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда:
|
||||
$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$
|
||||
|
||||
Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$:
|
||||
$S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$
|
||||
**Сумма** функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$: $S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)$ ^f4f31b
|
||||
|
||||
## Сходимость функционального ряда
|
||||
|
||||
Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ сходится в точке $x_0$, если существует конечный предел:
|
||||
$\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)$
|
||||
Функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *сходится* в точке $x_0$, если существует конечный предел: $\lim\limits_{n\to\infty} S_n(x_0)$
|
||||
|
||||
## Область сходимости функционального ряда
|
||||
|
||||
Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек $x$, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
|
||||
**Область сходимости** функционального ряда — это множество всех точек, в которых ряд *сходится*. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
|
||||
|
||||
## Признаки сходимости функциональных рядов
|
||||
|
||||
### Признак Вейерштрасса
|
||||
|
||||
Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
|
||||
**Признак Вейерштрасса** позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
|
||||
|
||||
#### Формулировка признака Вейерштрасса
|
||||
Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$, такой что $\forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n$.
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
|
||||
$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
|
||||
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на $D$.
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
|
||||
#### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
@ -1,45 +1,17 @@
|
||||
# Равномерно сходящиеся функциональные ряды, связь между сходимостью и равномерной сходимостью функционального ряда
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$.
|
||||
|
||||
## Равномерная сходимость функциональных рядов
|
||||
|
||||
Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ называется равномерно сходящимся на множестве $D$, если для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство:
|
||||
$|S(x)-S_n(x)|<\epsilon$
|
||||
где $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — сумма ряда, а $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ — частичная сумма ряда.
|
||||
Функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ называется **равномерно сходящимся** на множестве $D$, если для любого $\varepsilon>0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется неравенство: $|S(x)-S_n(x)| < \varepsilon$, где: ^392550
|
||||
- $S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b|сумма ряда]]
|
||||
- $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичная сумма ряда]].
|
||||
|
||||
## Связь между сходимостью и равномерной сходимостью
|
||||
|
||||
Равномерная сходимость функционального ряда влечет за собой его обычную сходимость, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как непрерывность суммы ряда и возможность почленного интегрирования и дифференцирования.
|
||||
**Равномерная сходимость** функционального ряда влечет за собой его обычную *сходимость*, но обратное неверно. Равномерная сходимость обеспечивает более сильные свойства, такие как *непрерывность* суммы ряда и возможность *почленного интегрирования* и *дифференцирования*.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
## Признак Вейерштрасса
|
||||
|
||||
Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
|
||||
|
||||
### Формулировка признака Вейерштрасса
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
|
||||
$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]].
|
||||
|
||||
|
||||
@ -1,45 +1,36 @@
|
||||
# Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Признак Вейерштрасса является важным критерием для определения равномерной сходимости функциональных рядов. Он позволяет определить, сходится ли функциональный ряд равномерно на заданном множестве, основываясь на сходимости ряда из мажорант.
|
||||
|
||||
**Мажоранта** (от majorer — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точная верхняя и нижняя границы").
|
||||
> [!Термин]
|
||||
> **Мажоранта** (от *majorer* — повышать) — термин, который используется в математике для обозначения "Точной верхней и нижней границ").
|
||||
|
||||
## Признак Вейерштрасса
|
||||
|
||||
### Формулировка признака Вейерштрасса
|
||||
### Формулировка
|
||||
Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$, такой что $\forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n$.
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
|
||||
$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
|
||||
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на $D$.
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
|
||||
|
||||
### Доказательство признака Вейерштрасса
|
||||
### Доказательство
|
||||
Рассмотрим [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы ряда]] $S_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum\limits_{k=1}^n M_k$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$ и соответствующие частичные суммы ряда из мажорант $T_n=\sum_{k=1}^{n}M_k$.
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
|
||||
Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
|
||||
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
|
||||
$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|f_k(x)|\leq\sum_{k=n+1}^{m}M_k=T_m-T_n$
|
||||
$|S_m(x) - S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m f_k(x) \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |f_k(x)| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m M_k = T_m-T_n$
|
||||
|
||||
Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$.
|
||||
Поскольку последовательность $T_n$ *ограничена*, то и разность $T_m-T_n$ *ограничена*. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на $D$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
### Примеры
|
||||
1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
1. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3}$ *сходится*, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
@ -3,60 +3,46 @@
|
||||
## Свойства равномерно сходящихся рядов
|
||||
|
||||
### Непрерывность суммы ряда
|
||||
|
||||
Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ непрерывны на $D$, то сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ также непрерывна на $D$.
|
||||
Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ *непрерывны* на $D$, то [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^f4f31b|сумма ряда]] $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ также *непрерывна* на $D$.
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
Пусть $\varepsilon > 0$. По определению [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#Равномерная сходимость функциональных рядов|равномерной сходимости]], существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется $|S(x)-S_n(x)| < \frac \varepsilon 3$
|
||||
|
||||
Пусть $\epsilon>0$. По определению равномерной сходимости, существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ и для всех $x\in D$ выполняется:
|
||||
$|S(x)-S_n(x)|<\frac{\epsilon}{3}$
|
||||
|
||||
Поскольку $f_n(x)$ непрерывны, то и частичные суммы $S_n(x)$ непрерывны. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется:
|
||||
$|S_n(x)-S_n(x_0)|<\frac{\epsilon}{3}$
|
||||
Поскольку $f_n(x)$ *непрерывны*, то и [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы]] $S_n(x)$ *непрерывны*. Следовательно, для любого $x_0\in D$ существует такое $\delta>0$, что для всех $x\in D$ таких, что $|x-x_0|<\delta$, выполняется:
|
||||
$|S_n(x)-S_n(x_0)| < \frac \varepsilon 3$
|
||||
|
||||
Тогда:
|
||||
$|S(x)-S(x_0)|\leq|S(x)-S_n(x)|+|S_n(x)-S_n(x_0)|+|S_n(x_0)-S(x_0)|<\epsilon$
|
||||
$|S(x)-S(x_0)| \leq |S(x)-S_n(x)| + |S_n(x)-S_n(x_0)| + |S_n(x_0)-S(x_0)| < \varepsilon$
|
||||
|
||||
Таким образом, $S(x)$ непрерывна на $D$.
|
||||
|
||||
### Почленное интегрирование
|
||||
|
||||
Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно:
|
||||
$\int_{D}\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
|
||||
Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и все функции $f_n(x)$ интегрируемы на $D$, то ряд можно интегрировать почленно:
|
||||
$\int\limits_D \sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)dx = \sum\limits_{n=1}^\infty \int\limits_D f_n(x)dx$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд равномерно сходится, то:
|
||||
$\int_{D}S(x)dx=\int_{D}\lim_{n\to\infty}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\int_{D}S_n(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\int_{D}f_k(x)dx=\sum_{n=1}^{\infty}\int_{D}f_n(x)dx$
|
||||
$$
|
||||
\int\limits_D S(x)dx = \int\limits_D \lim_{n\to\infty} S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \int\limits_D S_n(x)dx = \lim_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n \int\limits_D f_k(x)dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int\limits_D f_n(x)dx
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Почленное дифференцирование
|
||||
|
||||
Если функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на множестве $D$, и ряд из производных $\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$ также равномерно сходится на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно:
|
||||
$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
|
||||
Если функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на множестве $D$, и ряд из производных $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$ также *равномерно сходится* на $D$, то ряд можно дифференцировать почленно: $S'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то:
|
||||
$S'(x)=\lim_{n\to\infty}S_n'(x)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}f_k'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}f_n'(x)$
|
||||
Рассмотрим [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10#^2cb2e9|частичные суммы ряда]] $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$. Поскольку ряд из производных равномерно сходится, то: $S'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} S_n'(x) = \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{k=1}^n f_k'(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty f_n'(x)$
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]]**.
|
||||
|
||||
Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ *непрерывны*, то и сумма ряда $S(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ *непрерывна*.
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
Поскольку все функции $\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ непрерывна.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$.
|
||||
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$:
|
||||
$|\frac{\cos(nx)}{n^3}|\leq\frac{1}{n^3}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|
||||
|
||||
Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывны, то и сумма ряда $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos(nx)}{n^3}$ непрерывна.
|
||||
1. $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$
|
||||
Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\cos(nx)}{n^3} \right| \leq \frac 1 {n^3}$
|
||||
|
||||
Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^3}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=3>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$ *равномерно сходится* на всей числовой прямой по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]].
|
||||
|
||||
Поскольку все функции $\frac{\cos(nx)}{n^3}$ *непрерывны*, то и сумма ряда $S(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)}{n^3}$ *непрерывна*.
|
||||
|
||||
@ -1,60 +1,36 @@
|
||||
# Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная.
|
||||
|
||||
## Степенной ряд
|
||||
**Степенной ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, где $a_n$ — *коэффициенты*, а $x$ — *переменная*. ^e4c1fc
|
||||
|
||||
Степенной ряд имеет вид:
|
||||
$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$
|
||||
где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная.
|
||||
**Радиус сходимости** степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$ ^92c7d3
|
||||
|
||||
## Радиус сходимости
|
||||
**Интервал сходимости** степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
|
||||
|
||||
Радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
|
||||
|
||||
## Интервал сходимости
|
||||
|
||||
Интервал сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, где $R$ — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.
|
||||
|
||||
## Промежуток сходимости
|
||||
|
||||
Промежуток сходимости степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$.
|
||||
**Промежуток сходимости** степенного ряда — это интервал $(-R,R)$, включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов $a_n$.
|
||||
|
||||
## Первая теорема Абеля
|
||||
Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#^392550|сходится равномерно]] на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
### Формулировка первой теоремы Абеля
|
||||
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
### Формулировка
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ *сходится* в точке $x=R$. Тогда ряд *сходится равномерно* на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ выполняется $|S(R)-S_n(R)| < \varepsilon$
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется:
|
||||
$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$: $|S_m(x)-S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kx^k| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kR^k|$
|
||||
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
|
||||
$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$
|
||||
Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum\limits_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
|
||||
### Примеры
|
||||
1. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x \in \mathbb{R}$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
|
||||
1. $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|}} = 1$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
|
||||
|
||||
@ -2,60 +2,49 @@
|
||||
|
||||
## Теорема об абсолютной и равномерной сходимости степенного ряда
|
||||
|
||||
### Формулировка теоремы
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ — степенной ряд с радиусом сходимости $R$. Тогда:
|
||||
1. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ абсолютно сходится для всех $|x|<R$.
|
||||
2. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$.
|
||||
### Формулировка
|
||||
Пусть $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ — [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^e4c1fc|степенной ряд]] с [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^92c7d3|радиусом сходимости]] $R$. Тогда:
|
||||
1. Ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ абсолютно сходится для всех $|x|<R$.
|
||||
2. Ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
1. **Абсолютная сходимость**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$. Поскольку $|x|<R$, то $|a_nx^n|\leq|a_n|R^n$. Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|R^n$ сходится, так как $R$ — радиус сходимости. Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_nx^n|$ сходится, что означает абсолютную сходимость ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ для всех $|x|<R$.
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_nx^n|$. Поскольку $|x|<R$, то $|a_nx^n| \leq |a_n|R^n$. Ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|R^n$ сходится, так как $R$ — радиус сходимости. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_nx^n|$ сходится, что означает абсолютную сходимость ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ для всех $|x|<R$.
|
||||
|
||||
2. **Равномерная сходимость**:
|
||||
Пусть $[a,b]\subset(-R,R)$. Тогда существует такое $r<R$, что $[a,b]\subset[-r,r]$. Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n$. Поскольку $r<R$, то ряд $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n|r^n$ сходится. Следовательно, ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на $[a,b]$ по признаку Вейерштрасса.
|
||||
Пусть $[a,b]\subset(-R,R)$. Тогда существует такое $r<R$, что $[a,b] \subset [-r,r]$. Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|r^n$. Поскольку $r<R$, то ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|r^n$ сходится. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на $[a,b]$ по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/12#Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]].
|
||||
|
||||
## Непрерывность суммы степенного ряда
|
||||
|
||||
Если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$, то его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ непрерывна на этом интервале.
|
||||
Если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$, то его сумма $S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ непрерывна на этом интервале.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то его сумма $S(x)$ непрерывна на $(-R,R)$ как равномерный предел непрерывных функций.
|
||||
Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то его сумма $S(x)$ непрерывна на $(-R,R)$ как равномерный предел непрерывных функций.
|
||||
|
||||
## Вторая теорема Абеля
|
||||
Вторая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
Вторая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$ (где $R$ — радиус сходимости), то он сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
### Формулировка второй теоремы Абеля
|
||||
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
### Формулировка
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится в точке $x=R$. Тогда ряд сходится равномерно на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\varepsilon > 0$ существует такое число $N(\varepsilon)$, что для всех $n \geq N(\varepsilon)$ выполняется:
|
||||
$|S(R)-S_n(R)| < \varepsilon$
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n(x)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k$. Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то для любого $\epsilon>0$ существует такое число $N(\epsilon)$, что для всех $n\geq N(\epsilon)$ выполняется:
|
||||
$|S(R)-S_n(R)|<\epsilon$
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x) - S_n(x)$ для $m > n$:
|
||||
$|S_m(x)-S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kR^k \right|$
|
||||
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m(x)-S_n(x)$ для $m>n$:
|
||||
$|S_m(x)-S_n(x)|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kx^k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$
|
||||
|
||||
Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum_{k=n+1}^{m}|a_kR^k|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
|
||||
Поскольку ряд сходится в точке $x=R$, то и разность $\sum\limits_{k=n+1}^m \left| a_kR^k \right|$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n(x)$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале $[0,R]$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
1. $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac {x^n} {n!}$
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма $S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ непрерывна на всей числовой прямой.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ непрерывна на всей числовой прямой.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}}=1$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-1,1)$, его сумма $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ непрерывна на интервале $(-1,1)$.
|
||||
1. $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|}} = 1$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x| < 1$ и расходится для всех $|x| > 1$. Поскольку ряд сходится абсолютно и равномерно на любом замкнутом интервале $[a,b] \subset (-1,1)$, его сумма $S(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$ непрерывна на интервале $(-1,1)$.
|
||||
|
||||
@ -1,47 +1,34 @@
|
||||
# Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Степенной ряд — это ряд вида $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$.
|
||||
**Степенной ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$, где $a_n$ — коэффициенты, а $x$ — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число $R$, такое что ряд сходится для всех $|x|<R$ и расходится для всех $|x|>R$.
|
||||
|
||||
## Формула Коши-Адамара
|
||||
|
||||
Формула Коши-Адамара позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
|
||||
Формула Коши-Адамара позволяет найти [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^e4c1fc|радиус сходимости]] степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$.
|
||||
|
||||
## Формула Даламбера
|
||||
|
||||
Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
|
||||
$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
|
||||
Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^\infty n!x^n$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}n!x^n$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n!}{(n+1)!}\right|=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{n+1}\right|=0$
|
||||
Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{n!}{(n+1)!} \right| = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac 1 {n+1} \right| = 0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится только в точке $x=0$.
|
||||
|
||||
## Формула Коши
|
||||
|
||||
Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ с помощью предела:
|
||||
$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$
|
||||
Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ с помощью предела: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$.
|
||||
Найдем радиус сходимости: $R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|} = 1$
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|1|}=1$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $|x|<1$ и расходится для всех $|x|>1$.
|
||||
@ -3,43 +3,58 @@
|
||||
## Почленное интегрирование степенных рядов
|
||||
|
||||
### Теорема о почленном интегрировании
|
||||
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$:
|
||||
$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно интегрировать почленно на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$:
|
||||
$\int\limits_a^b \left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx = \sum\limits_{n=0}^\infty \int\limits_a^b a_nx^ndx$
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд:
|
||||
$\int_{a}^{b}\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\int_{a}^{b}\sum_{n=0}^{N}a_nx^ndx=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\int_{a}^{b}a_nx^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{a}^{b}a_nx^ndx$
|
||||
Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно интегрировать ряд:
|
||||
$$
|
||||
\int_a^b \left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right) dx =
|
||||
\int_a^b \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_nx^ndx = \lim_{N\to\infty} \int_a^b \sum_{n=0}^N a_nx^ndx =
|
||||
\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \int_a^b a_nx^ndx =
|
||||
\sum_{n=0}^\infty \int_a^b a_nx^ndx
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно интегрируем ряд на интервале $[0,1]$:
|
||||
$\int_{0}^{1}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)dx=\sum_{n=0}^{\infty}\int_{0}^{1}\frac{x^n}{n!}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^ndx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)}=e-1$
|
||||
$$
|
||||
\int_0^1 \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right) dx =
|
||||
\sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n}{n!}dx =
|
||||
\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \int_0^1 x^ndx =
|
||||
\sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \sum_{n=0}^\infty \frac 1 {n!(n+1)} =
|
||||
e-1
|
||||
$$
|
||||
|
||||
## Почленное дифференцирование степенных рядов
|
||||
|
||||
### Теорема о почленном дифференцировании
|
||||
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале:
|
||||
$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}\left(a_nx^n\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
|
||||
Пусть степенной ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ сходится на интервале $(-R,R)$. Тогда ряд можно дифференцировать почленно на этом интервале:
|
||||
$\left( \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=0}^\infty \left( a_nx^n \right)' = \sum\limits_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}$
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд:
|
||||
$\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\left(\sum_{n=0}^{N}a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=0}^{N}\left(a_nx^n\right)'=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}na_nx^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$
|
||||
Поскольку ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ равномерно сходится на любом замкнутом интервале $[a,b]\subset(-R,R)$, то можно почленно дифференцировать ряд:
|
||||
$$
|
||||
\left( \sum_{n=0}^\infty a_nx^n \right)' =
|
||||
\lim_{N\to\infty} \left( \sum_{n=0}^N a_nx^n \right)' =
|
||||
\lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N \left( a_nx^n \right)' =
|
||||
\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^N na_nx^{n-1} =
|
||||
\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$.
|
||||
|
||||
Найдем радиус сходимости:
|
||||
$R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|\frac{1}{n!}|}}=\infty$
|
||||
Найдем радиус сходимости: $R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд сходится для всех $x\in\mathbb{R}$. Почленно дифференцируем ряд:
|
||||
$\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}\right)'=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{nx^{n-1}}{n!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$
|
||||
$$
|
||||
\left( \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \right)' =
|
||||
\sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n!} =
|
||||
\sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} =
|
||||
\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} =
|
||||
e^x
|
||||
$$
|
||||
|
||||
@ -1,61 +1,45 @@
|
||||
# Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
|
||||
|
||||
## Разложение функций в степенные ряды
|
||||
|
||||
Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$
|
||||
Разложение функции $f(x)$ в степенной ряд в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$
|
||||
|
||||
## Ряды Тейлора и Маклорена
|
||||
|
||||
### Ряд Тейлора
|
||||
|
||||
Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$
|
||||
|
||||
где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
|
||||
Ряд Тейлора функции $f(x)$ в окрестности точки $x_0$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$, где $f^{(n)}(x_0)$ — значение $n$-й производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
|
||||
|
||||
### Ряд Маклорена
|
||||
|
||||
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$:
|
||||
$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
|
||||
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда $x_0=0$: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=e^x$.
|
||||
|
||||
Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$:
|
||||
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
|
||||
Ряд Маклорена для $f(x)=e^x$: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
|
||||
|
||||
## Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
|
||||
|
||||
### Теорема
|
||||
|
||||
Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется:
|
||||
$|f^{(n)}(x)|\leq M$
|
||||
Пусть функция $f(x)$ бесконечно дифференцируема в точке $x_0$, и пусть существует такое число $M$, что для всех $n$ выполняется: $|f^{(n)}(x)| \leq M$
|
||||
|
||||
для всех $x$ в некоторой окрестности точки $x_0$. Тогда функция $f(x)$ разлагается в ряд Тейлора в этой окрестности.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Рассмотрим остаточный член ряда Тейлора:
|
||||
$R_n(x)=f(x)-\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$
|
||||
$R_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k$
|
||||
|
||||
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
|
||||
$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
|
||||
$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-x_0)^{n+1}$, где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
|
||||
|
||||
где $\xi$ — некоторая точка между $x_0$ и $x$.
|
||||
Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)| \leq M$, то:
|
||||
$|R_n(x)| \leq \frac{M}{(n+1)!} |x-x_0|^{n+1}$
|
||||
|
||||
Поскольку $|f^{(n+1)}(\xi)|\leq M$, то:
|
||||
$|R_n(x)|\leq\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}$
|
||||
|
||||
Поскольку $\frac{M}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}\to0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
|
||||
Поскольку $\frac M {(n+1)!} |x-x_0|^{n+1} \to 0$ при $n\to\infty$, то $R_n(x)\to0$ при $n\to\infty$. Следовательно, ряд Тейлора сходится к $f(x)$ в окрестности точки $x_0$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Функция $f(x)=\sin(x)$**:
|
||||
Ряд Маклорена для $f(x)=\sin(x)$:
|
||||
$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
|
||||
$\sin(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
|
||||
|
||||
2. **Функция $f(x)=\cos(x)$**:
|
||||
Ряд Маклорена для $f(x)=\cos(x)$:
|
||||
$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
|
||||
$\cos(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
|
||||
@ -2,45 +2,36 @@
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Ряд Маклорена — это частный случай ряда Тейлора, когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид:
|
||||
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$
|
||||
**Ряд Маклорена** — это частный случай [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18#Ряд Тейлора|ряда Тейлора]], когда точка разложения $x_0=0$. Ряд Маклорена для функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$
|
||||
|
||||
## Разложение элементарных функций
|
||||
|
||||
### Экспоненциальная функция
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=e^x$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
|
||||
$$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$
|
||||
Функция $f(x) = e^x$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
Вычислим производные функции $f(x) = e^x$: $f^{(n)}(x) = e^x$
|
||||
|
||||
Вычислим производные функции $f(x)=e^x$:
|
||||
$f^{(n)}(x)=e^x$
|
||||
|
||||
Таким образом, $f^{(n)}(0)=1$ для всех $n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
|
||||
$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n$
|
||||
Таким образом, $f^{(n)}(0) = 1$ для всех $n$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*: $e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} x^n$
|
||||
|
||||
### Синус
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\sin(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
|
||||
$$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
|
||||
Функция $f(x) = \sin(x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом:
|
||||
$$\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Вычислим производные функции $f(x)=\sin(x)$:
|
||||
$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
|
||||
$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
|
||||
$f^{(2n)}(x) = (-1)^n \sin(x)$
|
||||
$f^{(2n+1)}(x) = (-1)^n \cos(x)$
|
||||
|
||||
Таким образом, $f^{(2n)}(0)=0$ и $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
|
||||
Таким образом, $f^{(2n)}(0) = 0$ и $f^{(2n+1)}(0) = (-1)^n$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*:
|
||||
$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
|
||||
|
||||
### Косинус
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\cos(x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
|
||||
$$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
|
||||
Функция $f(x) = \cos(x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом:
|
||||
$$\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
|
||||
Вычислим производные функции $f(x)=\cos(x)$:
|
||||
$f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)$
|
||||
$f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
|
||||
@ -49,14 +40,12 @@ $f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)$
|
||||
$\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}$
|
||||
|
||||
### Логарифм
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\ln(1+x)$ разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
|
||||
$$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$$
|
||||
Функция $f(x) = \ln(1+x)$ разлагается в *ряд Маклорена* следующим образом:
|
||||
$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n$$
|
||||
|
||||
#### Доказательство
|
||||
Вычислим производные функции $f(x) = \ln(1+x)$:
|
||||
$f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}(n-1)! (1+x)^{-n}$
|
||||
|
||||
Вычислим производные функции $f(x)=\ln(1+x)$:
|
||||
$f^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}(n-1)!(1+x)^{-n}$
|
||||
|
||||
Таким образом, $f^{(n)}(0)=(-1)^{n+1}(n-1)!$. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
|
||||
$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}$
|
||||
Таким образом, $f^{(n)}(0) = (-1)^{n+1} (n-1)!$. Подставим это в формулу *ряда Маклорена*:
|
||||
$\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n$
|
||||
@ -1,54 +1,34 @@
|
||||
# Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость
|
||||
|
||||
## Гармонический ряд
|
||||
|
||||
Гармонический ряд — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
|
||||
**Гармонический ряд** — это бесконечная сумма чисел, представленная в виде: $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ ^ab323a
|
||||
|
||||
### Сходимость гармонического ряда
|
||||
Гармонический ряд *расходится*. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. ^e432ca
|
||||
|
||||
Гармонический ряд расходится. Это можно доказать, используя признак сравнения или интегральный признак. Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда:
|
||||
$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$
|
||||
|
||||
Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как:
|
||||
$S_n \approx \ln(n) + \gamma$
|
||||
где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
|
||||
|
||||
Например, рассмотрим частичные суммы гармонического ряда: $S_n = \sum\limits_{k=1}^n \frac 1 k$
|
||||
Для больших значений $n$, частичные суммы $S_n$ можно аппроксимировать как $S_n \approx \ln(n) + \gamma$, где $\gamma$ — постоянная Эйлера-Маскерони.
|
||||
Поскольку $\ln(n) \to \infty$ при $n \to \infty$, то и $S_n \to \infty$, что означает расходимость гармонического ряда.
|
||||
|
||||
## Обобщенный гармонический ряд
|
||||
|
||||
Обобщенный гармонический ряд имеет вид:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$
|
||||
где $p$ — положительное число.
|
||||
**Обобщенный гармонический ряд** имеет вид $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p$ — положительное число. ^e8e233
|
||||
|
||||
### Сходимость обобщенного гармонического ряда
|
||||
|
||||
Сходимость обобщенного гармонического ряда зависит от значения $p$:
|
||||
- Если $p > 1$, то ряд сходится.
|
||||
- Если $p > 1$, то ряд сходится. ^5262f4
|
||||
- Если $p \leq 1$, то ряд расходится.
|
||||
|
||||
Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл:
|
||||
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$
|
||||
|
||||
Для $p > 1$:
|
||||
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{\infty} = \frac{1}{p-1}$
|
||||
|
||||
Для $p \leq 1$:
|
||||
$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^p} dx$ расходится.
|
||||
|
||||
Это можно доказать, используя интегральный признак. Рассмотрим интеграл $\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$
|
||||
- Для $p > 1$:
|
||||
$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$
|
||||
- Для $p \leq 1$:
|
||||
$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx$ *расходится*.
|
||||
Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при $p > 1$ и расходится при $p \leq 1$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Гармонический ряд**:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
|
||||
Расходится.
|
||||
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ *расходится*
|
||||
2. **Обобщенный гармонический ряд с $p = 2$**:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
|
||||
Сходится, так как $p = 2 > 1$.
|
||||
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ *сходится*, так как $p = 2 > 1$.
|
||||
3. **Обобщенный гармонический ряд с $p = \frac{1}{2}$**:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$
|
||||
Расходится, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1/2}}$ *расходится*, так как $p = \frac{1}{2} \leq 1$.
|
||||
|
||||
@ -1,60 +1,47 @@
|
||||
# Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Достаточное условие разложимости $2\pi$-периодической функции в ряд Фурье.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Тригонометрический ряд Фурье — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
||||
Тригонометрический **ряд Фурье** — это разложение периодической функции в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
||||
|
||||
## Тригонометрический ряд Фурье
|
||||
|
||||
Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$
|
||||
|
||||
где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье.
|
||||
Тригонометрический ряд Фурье для $2\pi$-периодической функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx))$, где $a_n$ и $b_n$ — коэффициенты Фурье.
|
||||
|
||||
## Коэффициенты Фурье
|
||||
|
||||
Коэффициенты Фурье $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$
|
||||
$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)dx$
|
||||
$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)dx$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}xdx=0$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)dx=0$
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
|
||||
$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x dx = 0$
|
||||
$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \cos(nx) dx = 0$
|
||||
$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac {2(-1)^{n+1}} n$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$
|
||||
|
||||
## Достаточное условие разложимости в ряд Фурье
|
||||
|
||||
### Теорема
|
||||
|
||||
Пусть $f(x)$ — $2\pi$-периодическая функция, которая является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой на интервале $[-\pi,\pi]$. Тогда $f(x)$ разлагается в ряд Фурье, который сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
|
||||
|
||||
### Доказательство
|
||||
|
||||
Доказательство этой теоремы основано на теореме Дирихле о сходимости ряда Фурье. Теорема Дирихле утверждает, что если функция $f(x)$ кусочно-непрерывна и кусочно-гладкая на интервале $[-\pi,\pi]$, то её ряд Фурье сходится к $f(x)$ в каждой точке непрерывности и к среднему значению односторонних пределов в точках разрыва.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\sin(nx)dx=0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$
|
||||
$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
|
||||
$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \sin(nx) dx = 0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$
|
||||
|
||||
2. **Функция $f(x)=x^2$ на интервале $[-\pi,\pi]$**:
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2dx=\frac{2\pi^2}{3}$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\cos(nx)dx=\frac{4(-1)^n}{n^2}$
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\sin(nx)dx=0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 dx = \frac{2\pi^2} 3$
|
||||
$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \cos(nx) dx = \frac{4(-1)^n}{n^2}$
|
||||
$b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \sin(nx) dx = 0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x^2$ имеет вид: $f(x) = \frac{\pi^2} 3 + 4 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$
|
||||
@ -1,10 +1,8 @@
|
||||
# Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
||||
**Ряд Фурье** позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
||||
## Четные функции
|
||||
|
||||
Четная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=f(-x)$. Ряд Фурье для четной функции содержит только косинусоидальные члены:
|
||||
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos(nx)$
|
||||
|
||||
@ -13,30 +11,22 @@ $a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим четную функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|dx=\pi$
|
||||
$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\cos(nx)dx=\frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
|
||||
$a_0 = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| dx = \pi$
|
||||
$a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi |x| \cos(nx) dx = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n^2}$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{\pi}{2}+\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos(nx)$
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac \pi 2 + \frac 2 \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$
|
||||
|
||||
## Нечетные функции
|
||||
Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x) = -f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены: $f(x) = \sum\limits_{n=1}^\infty b_n \sin(nx)$
|
||||
|
||||
Нечетная функция $f(x)$ удовлетворяет условию $f(x)=-f(-x)$. Ряд Фурье для нечетной функции содержит только синусоидальные члены:
|
||||
$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx)$
|
||||
|
||||
где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами:
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx$
|
||||
где коэффициенты $b_n$ определяются следующими формулами: $b_n = \frac 1 \pi \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx) dx$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим нечетную функцию $f(x)=x$ на интервале $[-\pi,\pi]$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin(nx)dx=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}$
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье: $b_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^\pi x \sin(nx) dx = \frac{2(-1)^{n+1}} n$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = 2 \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin(nx)$
|
||||
|
||||
@ -1,41 +1,32 @@
|
||||
# Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
||||
**Ряд Фурье** позволяет разложить периодическую функцию в сумму синусоидальных и косинусоидальных функций.
|
||||
|
||||
## Разложение функций произвольного периода
|
||||
|
||||
Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда ряд Фурье для функции $f(x)$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)+b_n\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)\right)$
|
||||
|
||||
где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
|
||||
$a_0=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)dx$
|
||||
$a_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\cos\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
|
||||
$b_n=\frac{2}{T}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\sin\left(\frac{2\pi nx}{T}\right)dx$
|
||||
Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда *ряд Фурье* для функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left( a_n\cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) \right)$, где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
|
||||
- $a_0 = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) dx$
|
||||
- $a_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$
|
||||
- $b_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
### Пример 1: Функция $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=x$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}xdx=0$
|
||||
$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
|
||||
$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}x\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$
|
||||
Вычислим *коэффициенты Фурье*:
|
||||
$a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^{L}x dx = 0$
|
||||
$a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0$
|
||||
$b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L x \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(-1)^{n+1}}{\pi n}$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=x$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{2L}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
|
||||
Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = \frac{2L} \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin \left( \frac{\pi nx} L \right)$
|
||||
|
||||
### Пример 2: Функция $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=|x|$ на интервале $[-L,L]$. Период функции $T=2L$.
|
||||
|
||||
Вычислим коэффициенты Фурье:
|
||||
$a_0=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|dx=L$
|
||||
$a_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\cos\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=\frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
|
||||
$b_n=\frac{2}{2L}\int_{-L}^{L}|x|\sin\left(\frac{2\pi nx}{2L}\right)dx=0$
|
||||
Вычислим *коэффициенты Фурье*:
|
||||
$a_0 = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| dx = L$
|
||||
$a_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \cos \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = \frac{2L(1-(-1)^n)}{\pi^2n^2}$
|
||||
$b_n = \frac 2 {2L} \int\limits_{-L}^L |x| \sin \left( \frac{2\pi nx}{2L} \right) dx = 0$
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд Фурье для функции $f(x)=|x|$ имеет вид:
|
||||
$f(x)=\frac{L}{2}+\frac{2L}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n^2}\cos\left(\frac{\pi nx}{L}\right)$
|
||||
Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac L 2 + \frac{2L}{\pi^2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos \left( \frac{\pi nx} L \right)$
|
||||
|
||||
@ -1,45 +1,29 @@
|
||||
# Разложение в ряд Фурье непериодической функции
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Ряд Фурье обычно используется для разложения периодических функций. Однако, для непериодических функций можно использовать интегральное преобразование Фурье.
|
||||
|
||||
## Интегральное преобразование Фурье
|
||||
|
||||
Интегральное преобразование Фурье функции $f(x)$ определяется следующим образом:
|
||||
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$
|
||||
|
||||
где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$.
|
||||
**Интегральное преобразование Фурье** функции $f(x)$ определяется следующим образом: $F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\omega x}dx$, где $F(\omega)$ — преобразование Фурье функции $f(x)$.
|
||||
|
||||
## Обратное преобразование Фурье
|
||||
|
||||
Обратное преобразование Фурье позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$:
|
||||
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega x}d\omega$
|
||||
**Обратное преобразование Фурье** позволяет восстановить функцию $f(x)$ из её преобразования Фурье $F(\omega)$: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega x} d \omega$
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
1. $f(x) = e^{-|x|}$
|
||||
Вычислим *преобразование Фурье*:
|
||||
$F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-|x|} e^{-i\omega x} dx = \int\limits_{-\infty}^0 e^xe^{-i\omega x}dx + \int\limits_0^\infty e^{-x}e^{-i\omega x} dx$
|
||||
|
||||
Рассчитаем интегралы:
|
||||
$F(\omega) = \left[ \frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega} \right]_{-\infty}^0 + \left[ \frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)} \right]_0^\infty = \frac 1 {1+\omega^2}$
|
||||
|
||||
Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \frac 1 {1+\omega^2} e^{i\omega x} d \omega$
|
||||
|
||||
### Пример 1: Функция $f(x)=e^{-|x|}$
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-|x|}$.
|
||||
|
||||
Вычислим преобразование Фурье:
|
||||
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-|x|}e^{-i\omega x}dx=\int_{-\infty}^{0}e^{x}e^{-i\omega x}dx+\int_{0}^{\infty}e^{-x}e^{-i\omega x}dx$
|
||||
|
||||
Рассчитаем интегралы:
|
||||
$F(\omega)=\left[\frac{e^{(1-i\omega)x}}{1-i\omega}\right]_{-\infty}^{0}+\left[\frac{e^{-(1+i\omega)x}}{-(1+i\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{1+\omega^2}$
|
||||
|
||||
Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
|
||||
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\omega^2}e^{i\omega x}d\omega$
|
||||
|
||||
### Пример 2: Функция $f(x)=e^{-x^2}$
|
||||
|
||||
Рассмотрим функцию $f(x)=e^{-x^2}$.
|
||||
|
||||
Вычислим преобразование Фурье:
|
||||
$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}e^{-i\omega x}dx$
|
||||
|
||||
Используем известный результат:
|
||||
$F(\omega)=\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}$
|
||||
|
||||
Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью обратного преобразования Фурье:
|
||||
$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\pi}e^{-\omega^2/4}e^{i\omega x}d\omega$
|
||||
2. $f(x)=e^{-x^2}$
|
||||
Вычислим *преобразование Фурье*:
|
||||
$F(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} e^{-i\omega x}dx$
|
||||
|
||||
Используем известный результат:
|
||||
$F(\omega) = \sqrt \pi e^{-\omega^2/4}$
|
||||
|
||||
Теперь восстановим функцию $f(x)$ с помощью *обратного преобразования Фурье*: $f(x) = \frac 1 {2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \sqrt \pi e^{-\omega^2/4} e^{i\omega x} d\omega$
|
||||
|
||||
@ -1,46 +1,39 @@
|
||||
# Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения
|
||||
|
||||
## Ряды с неотрицательными членами
|
||||
|
||||
Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде:
|
||||
$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $
|
||||
где $ a_n \geq 0 $ для всех $ n $.
|
||||
Ряд с неотрицательными членами — это бесконечная сумма неотрицательных чисел, представленная в виде: $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$, где $a_n \geq 0$ для всех $n$.
|
||||
|
||||
## Признаки сравнения
|
||||
|
||||
Признаки сравнения позволяют определить сходимость или расходимость ряда, сравнивая его с другим рядом, сходимость которого известна.
|
||||
|
||||
### Первый признак сравнения
|
||||
|
||||
Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряда с неотрицательными членами, и пусть $0 \leq a_n \leq b_n$ для всех $n$.
|
||||
|
||||
- Если ряд $\sum b_n$ сходится, то и ряд $\sum a_n$ сходится.
|
||||
- Если ряд $\sum a_n$ расходится, то и ряд $\sum b_n$ расходится.
|
||||
|
||||
### Второй признак сравнения (предельный признак сравнения)
|
||||
|
||||
Пусть $\sum a_n$ и $\sum b_n$ — два ряды с положительными членами, и пусть существует предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$
|
||||
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L$
|
||||
|
||||
- Если $0 < L < \infty$, то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.
|
||||
- Если $L = 0$ и ряд $\sum b_n$ сходится, то ряд $\sum a_n$ также сходится.
|
||||
- Если $L = \infty$ и ряд $\sum b_n$ расходится, то ряд $\sum a_n$ также расходится.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Сравнение с гармоническим рядом**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Сравним его с гармоническим рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$, который расходится.
|
||||
|
||||
Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения).
|
||||
Сравним его с гармоническим рядом $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$, который расходится.
|
||||
|
||||
Поскольку $\frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$ для всех $n$, и гармонический ряд расходится, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ сходится (по первому признаку сравнения).
|
||||
|
||||
2. **Предельный признак сравнения**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$.
|
||||
|
||||
Сравним его с рядом $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$.
|
||||
|
||||
Вычислим предел:
|
||||
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n \sqrt{n}}}{\frac{1}{n^{3/2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$$
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac{3}{2} > 1$), то и ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n}}$ сходится (по второму признаку сравнения).
|
||||
Сравним его с рядом $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^{3/2}}$.
|
||||
|
||||
Вычислим предел:
|
||||
$$
|
||||
\lim_{n \to \infty} \frac{\frac 1 {n \sqrt n}}{\frac 1 {n^{3/2}}} =
|
||||
\lim_{n \to \infty} \frac{n^{3/2}}{n \sqrt{n}} =
|
||||
\lim_{n \to \infty} \frac 1 {\sqrt{n}} = 0
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^{3/2}}$ сходится (так как $p = \frac 3 2 > 1$), то и ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n \sqrt n}$ сходится (по второму признаку сравнения).
|
||||
|
||||
@ -1,45 +1,37 @@
|
||||
# Признаки Даламбера и Коши сходимости знакоположительных рядов
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
**Знакоположительные ряды** — это ряды, все члены которых являются положительными числами ^da23a3
|
||||
|
||||
Знакоположительные ряды — это ряды, все члены которых являются положительными числами. Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.
|
||||
Для определения сходимости таких рядов используются различные признаки, среди которых особое место занимают признаки Даламбера и Коши.
|
||||
|
||||
## Признак Даламбера
|
||||
|
||||
Признак Даламбера позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.
|
||||
**Признак Даламбера** позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела отношения последовательных членов ряда.
|
||||
|
||||
Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$
|
||||
|
||||
- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
|
||||
- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
|
||||
- Если $L = 1$, то признак Даламбера не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
|
||||
$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L$
|
||||
- Если $L < 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.
|
||||
- Если $L > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ расходится.
|
||||
- Если $L = 1$, то *признак Даламбера* не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n}$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$.
|
||||
Вычислим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac n {2^n}} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac 1 2$
|
||||
|
||||
Вычислим предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n+1}{2^{n+1}}}{\frac{n}{2^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$
|
||||
Поскольку $\frac 1 2 < 1$, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac n {2^n}$ сходится по *признаку Даламбера*.
|
||||
|
||||
Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ сходится по признаку Даламбера.
|
||||
## Признак Коши
|
||||
**Признак Коши** (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.
|
||||
|
||||
## Признак Коши (корневой признак)
|
||||
|
||||
Признак Коши (корневой признак) позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ на основе предела корня из $n$-го члена ряда.
|
||||
|
||||
Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$
|
||||
|
||||
- Если $L < 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ сходится.
|
||||
- Если $L > 1$, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ расходится.
|
||||
- Если $L = 1$, то признак Коши не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
|
||||
Пусть $a_n > 0$ для всех $n$. Рассмотрим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L$
|
||||
- Если $L < 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.
|
||||
- Если $L > 1$, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ расходится.
|
||||
- Если $L = 1$, то *признак Коши* не позволяет сделать вывод о сходимости ряда.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$.
|
||||
Вычислим предел: $\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left( \frac n 2 \right)^n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac n 2 = \infty$
|
||||
|
||||
Вычислим предел:
|
||||
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{2}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2} = \infty$
|
||||
|
||||
Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{n}{2}\right)^n$ расходится по признаку Коши.
|
||||
Поскольку $\infty > 1$, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \left( \frac n 2 \right)^n$ расходится по *признаку Коши*.
|
||||
|
||||
@ -1,48 +1,40 @@
|
||||
# Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/4#^da23a3|знакоположительных рядов]], сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.
|
||||
|
||||
Интегральный признак сходимости позволяет определить сходимость знакоположительных рядов, сравнивая их с соответствующими несобственными интегралами. Этот признак особенно полезен для рядов, члены которых можно выразить через непрерывные функции.
|
||||
## Формулировка
|
||||
Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд: $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$
|
||||
|
||||
## Формулировка интегрального признака
|
||||
Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл: $\int\limits_1^\infty f(x)dx$
|
||||
|
||||
Пусть $f(x)$ — непрерывная, положительная и убывающая функция на интервале $[1, \infty)$. Рассмотрим ряд:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$
|
||||
|
||||
Интегральный признак утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$ сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл:
|
||||
$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$
|
||||
|
||||
## Доказательство интегрального признака
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n=\int_{1}^{n}f(x)dx$.
|
||||
## Доказательство
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n = \sum\limits_{k=1}^n f(k)$ и соответствующие интегралы $I_n = \int\limits_1^n f(x)dx$.
|
||||
|
||||
Поскольку $f(x)$ убывает, можно записать неравенства:
|
||||
$f(k+1)\leq\int_{k}^{k+1}f(x)dx\leq f(k)$
|
||||
$f(k+1) \leq \int\limits_k^{k+1} f(x)dx \leq f(k)$
|
||||
|
||||
Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем:
|
||||
$\sum_{k=2}^{n}f(k)\leq\int_{1}^{n}f(x)dx\leq\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$
|
||||
Суммируя эти неравенства от $k=1$ до $k=n-1$, получаем: $\sum\limits_{k=2}^n f(k) \leq \int\limits_1^n f(x)dx \leq \sum\limits_{k=1}^{n-1} f(k)$
|
||||
|
||||
Или, что эквивалентно:
|
||||
$S_n-f(1)\leq I_n\leq S_{n-1}$
|
||||
Или, что эквивалентно: $S_n - f(1) \leq I_n \leq S_{n-1}$
|
||||
|
||||
Если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
|
||||
Если интеграл $\int\limits_1^\infty f(x)dx$ сходится, то $I_n$ ограничено, и, следовательно, $S_n$ также ограничено, что означает сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$.
|
||||
|
||||
Аналогично, если интеграл $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}f(n)$.
|
||||
Аналогично, если интеграл $\int\limits_1^\infty f(x)dx$ расходится, то $I_n$ не ограничено, и, следовательно, $S_n$ также не ограничено, что означает расходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty f(n)$.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
|
||||
1. **Гармонический ряд**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
|
||||
$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}dx=\left[\ln x\right]_{1}^{\infty}=\infty$
|
||||
|
||||
Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ также расходится.
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$.
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\frac{1}{x}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
|
||||
$\int\limits_1^\infty \frac 1 x dx = \left[ \ln x \right]_1^\infty = \infty$
|
||||
|
||||
Поскольку интеграл расходится, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ также расходится.
|
||||
|
||||
2. **Обобщенный гармонический ряд**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$, где $p>1$.
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
|
||||
$\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^p}dx=\left[-\frac{1}{(p-1)x^{p-1}}\right]_{1}^{\infty}=\frac{1}{p-1}$
|
||||
|
||||
Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ также сходится при $p>1$.
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$, где $p>1$.
|
||||
|
||||
Функция $f(x)=\frac{1}{x^p}$ убывает и положительна на $[1, \infty)$. Вычислим интеграл:
|
||||
$\int\limits_1^\infty \frac 1 {x^p} dx = \left[ -\frac 1 {(p-1)x^{p-1}} \right]_1^\infty = \frac 1 {p-1}$
|
||||
|
||||
Поскольку интеграл сходится, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^p}$ также сходится при $p>1$.
|
||||
@ -1,40 +1,26 @@
|
||||
# Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Знакочередующиеся ряды — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.
|
||||
**Знакочередующиеся ряды** — это ряды, члены которых чередуются по знаку. Один из наиболее известных признаков сходимости таких рядов — это признак Лейбница.
|
||||
|
||||
## Признак Лейбница
|
||||
|
||||
Признак Лейбница позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида:
|
||||
$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$
|
||||
где $b_n$ — положительные числа.
|
||||
|
||||
Признак Лейбница утверждает, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
|
||||
**Признак Лейбница** позволяет определить сходимость знакочередующегося ряда вида $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}b_n$, где $b_n$ — положительные числа.
|
||||
*Признак Лейбница* утверждает, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ сходится, если:
|
||||
1. $b_n$ убывает, то есть $b_{n+1}\leq b_n$ для всех $n$.
|
||||
2. $\lim_{n\to\infty}b_n=0$.
|
||||
2. $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Проверим условия признака Лейбница:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$.
|
||||
Проверим условия *признака Лейбница*:
|
||||
1. $b_n=\frac{1}{n}$ убывает, так как $\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$ для всех $n$.
|
||||
2. $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$.
|
||||
|
||||
Таким образом, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Лейбница.
|
||||
2. $\lim\limits_{n\to\infty} \frac 1 n = 0$.
|
||||
Таким образом, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ сходится по *признаку Лейбница*.
|
||||
|
||||
## Оценка остатка сходящегося знакочередующегося ряда
|
||||
|
||||
Для сходящегося знакочередующегося ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}b_n$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
|
||||
$|R_n|=|S-S_n|\leq b_{n+1}$
|
||||
где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.
|
||||
Для сходящегося *знакочередующегося ряда* $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} b_n}$ остаток ряда $R_n$ после $n$ членов можно оценить следующим образом:
|
||||
$|R_n| = |S-S_n| \leq b_{n+1}$, где $S$ — сумма ряда, а $S_n$ — частичная сумма первых $n$ членов ряда.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Оценка остатка после $n$ членов:
|
||||
$|R_n|\leq\frac{1}{n+1}$
|
||||
|
||||
Таким образом, остаток ряда $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$.
|
||||
Оценка остатка после $n$ членов: $|R_n| \leq \frac 1 {n+1}$
|
||||
Таким образом, остаток ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ после $n$ членов не превосходит $\frac{1}{n+1}$.
|
||||
|
||||
@ -1,43 +1,29 @@
|
||||
# Знакопеременные ряды. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Знакопеременные ряды — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость.
|
||||
|
||||
## Абсолютная сходимость
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится.
|
||||
**Знакопеременные ряды** — это ряды, члены которых могут быть как положительными, так и отрицательными. Одним из важных понятий в теории рядов является абсолютная сходимость. Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда утверждает, что абсолютная сходимость ряда влечет за собой его обычную сходимость.
|
||||
|
||||
## Теорема Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда
|
||||
|
||||
Теорема Коши утверждает, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
|
||||
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *[[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/8#Абсолютной сходимости|абсолютно сходится]]*, то он также *сходится* в обычном смысле. ^446f33
|
||||
|
||||
### Формулировка теоремы
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — абсолютно сходящийся ряд, то есть $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится. Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ также сходится.
|
||||
|
||||
Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ — абсолютно сходящийся ряд, то есть $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ сходится. Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ также сходится.
|
||||
### Доказательство
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений $T_n=\sum\limits_{k=1}^n |a_k|$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим частичные суммы ряда $S_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ и соответствующие частичные суммы ряда из абсолютных значений $T_n=\sum_{k=1}^{n}|a_k|$.
|
||||
|
||||
Поскольку ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
|
||||
Поскольку ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ сходится, то последовательность $T_n$ ограничена. Это означает, что существует такое число $M$, что $T_n\leq M$ для всех $n$.
|
||||
|
||||
Теперь рассмотрим разность частичных сумм $S_m-S_n$ для $m>n$:
|
||||
$|S_m-S_n|=|\sum_{k=n+1}^{m}a_k|\leq\sum_{k=n+1}^{m}|a_k|=T_m-T_n$
|
||||
$|S_m-S_n| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_k| = T_m-T_n$
|
||||
|
||||
Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n$ является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, сходится.
|
||||
Поскольку последовательность $T_n$ ограничена, то и разность $T_m-T_n$ ограничена. Следовательно, последовательность $S_n$ является фундаментальной (*последовательность Коши*), а значит, сходится.
|
||||
|
||||
Таким образом, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
|
||||
Таким образом, если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ сходится, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница.
|
||||
1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e432ca|расходится]], так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^ab323a|гармонический ряд]]. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]].
|
||||
|
||||
|
||||
@ -1,39 +1,29 @@
|
||||
# Абсолютно сходящиеся ряды и их свойства
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
**Абсолютно сходящиеся ряды** — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств.
|
||||
|
||||
Абсолютно сходящиеся ряды — это ряды, для которых ряд из абсолютных значений их членов сходится. Абсолютная сходимость является более сильным свойством по сравнению с обычной сходимостью и имеет ряд важных свойств.
|
||||
## Абсолютной сходимости
|
||||
|
||||
## Определение абсолютной сходимости
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется абсолютно сходящимся, если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ сходится.
|
||||
Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называется **абсолютно сходящимся**, если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ *сходится*.
|
||||
|
||||
## Свойства абсолютно сходящихся рядов
|
||||
|
||||
### 1. Абсолютная сходимость влечет за собой обычную сходимость
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то он также сходится в обычном смысле. Это следует из теоремы Коши о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
|
||||
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *абсолютно сходится*, то он также *сходится* в обычном смысле. Это следует из [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/7#^446f33|теоремы Коши]] о сходимости абсолютно сходящегося ряда.
|
||||
|
||||
### 2. Перестановка членов абсолютно сходящегося ряда
|
||||
|
||||
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ абсолютно сходится, то любая перестановка его членов также сходится и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно).
|
||||
Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ *абсолютно сходится*, то любая перестановка его членов также *сходится* и имеет ту же сумму. Это свойство не выполняется для условно сходящихся рядов (рядов, которые сходятся, но не абсолютно).
|
||||
|
||||
### 3. Линейность абсолютной сходимости
|
||||
|
||||
Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их линейная комбинация $\sum_{n=1}^{\infty}(\alpha a_n+\beta b_n)$ также абсолютно сходится для любых констант $\alpha$ и $\beta$.
|
||||
Если ряды $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ *абсолютно сходятся*, то их линейная комбинация $\sum\limits_{n=1}^\infty (\alpha a_n + \beta b_n)$ также *абсолютно сходится* для любых констант $\alpha$ и $\beta$.
|
||||
|
||||
### 4. Произведение абсолютно сходящихся рядов
|
||||
|
||||
Если ряды $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ и $\sum_{n=1}^{\infty}b_n$ абсолютно сходятся, то их произведение $\sum_{n=1}^{\infty}c_n$, где $c_n=\sum_{k=1}^{n}a_kb_{n-k}$, также абсолютно сходится.
|
||||
Если ряды $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ и $\sum\limits_{n=1}^\infty b_n$ *абсолютно сходятся*, то их произведение $\sum\limits_{n=1}^\infty c_n$, где $c_n = \sum\limits_{k=1}^n {a_k b_{n-k}}$, также *абсолютно сходится*.
|
||||
|
||||
## Примеры
|
||||
1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 {n^2}}$ *абсолютно сходится* и, следовательно, сходится в обычном смысле.
|
||||
|
||||
1. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$.
|
||||
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n^2}$ абсолютно сходится и, следовательно, сходится в обычном смысле.
|
||||
|
||||
2. **Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$**:
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$ расходится, так как это гармонический ряд. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ не является абсолютно сходящимся, но он сходится по признаку Лейбница.
|
||||
1. $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$
|
||||
Ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 n$ *расходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^ab323a|гармонический ряд]]. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ *не является абсолютно сходящимся*, но он *сходится* по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]].
|
||||
|
||||
@ -1,60 +1,50 @@
|
||||
# Условно сходящиеся ряды. Признаки Абеля и Дирихле. Теорема Римана.
|
||||
|
||||
## Введение
|
||||
|
||||
Условно сходящиеся ряды — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости.
|
||||
**Условно сходящиеся ряды** — это ряды, которые сходятся, но не абсолютно. Такие ряды имеют особые свойства и требуют специальных методов для анализа их сходимости.
|
||||
|
||||
## Условно сходящиеся ряды
|
||||
|
||||
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд из абсолютных значений $\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|$ расходится.
|
||||
Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ называется *условно сходящимся*, если он *сходится*, но ряд из абсолютных значений $\sum\limits_{n=1}^\infty |a_n|$ *расходится*.
|
||||
|
||||
## Признак Дирихле
|
||||
**Признак Дирихле** позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
|
||||
|
||||
Признак Дирихле позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
|
||||
|
||||
### Формулировка признака Дирихле
|
||||
|
||||
### Формулировка
|
||||
Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
|
||||
1. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$.
|
||||
1. Частичные суммы $A_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k$ ограничены, то есть существует такое число $M$, что $|A_n|\leq M$ для всех $n$.
|
||||
2. $b_n$ монотонно стремится к нулю, то есть $b_n\to0$ и $b_n\geq b_{n+1}$ для всех $n$.
|
||||
|
||||
Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
|
||||
Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Частичные суммы $A_n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}$ ограничены, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно стремится к нулю. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Дирихле.
|
||||
Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac 1 n$. Частичные суммы $A_n = \sum\limits_{k=1}^n (-1)^{k+1}$ *ограничены*, так как $|A_n|\leq1$ для всех $n$. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ *монотонно стремится* к нулю. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$ сходится по признаку Дирихле.
|
||||
|
||||
## Признак Абеля
|
||||
**Признак Абеля** является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
|
||||
|
||||
Признак Абеля является обобщением признака Дирихле и позволяет определить сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$, где $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел.
|
||||
|
||||
### Формулировка признака Абеля
|
||||
|
||||
### Формулировка
|
||||
Пусть $a_n$ и $b_n$ — последовательности чисел, удовлетворяющие следующим условиям:
|
||||
1. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ сходится.
|
||||
1. Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ сходится.
|
||||
2. $b_n$ монотонно ограничена, то есть существует такое число $M$, что $|b_n|\leq M$ для всех $n$, и $b_n$ монотонна.
|
||||
|
||||
Тогда ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n$ сходится.
|
||||
Тогда ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty a_nb_n$ сходится.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$.
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Пусть $a_n=(-1)^{n+1}$ и $b_n=\frac{1}{n}$. Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}$ сходится по признаку Лейбница. Последовательность $b_n=\frac{1}{n}$ монотонно ограничена. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$ сходится по признаку Абеля.
|
||||
Пусть $a_n = (-1)^{n+1}$ и $b_n = \frac 1 n$. Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}$ *сходится* по [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/6#Признак Лейбница|признаку Лейбница]]. Последовательность $b_n = \frac 1 n$ *монотонно ограничена*. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\frac 1 n}$ *сходится* по признаку Абеля.
|
||||
|
||||
## Теорема Римана
|
||||
**Теорема Римана** утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
|
||||
|
||||
Теорема Римана утверждает, что условно сходящийся ряд можно переставить так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
|
||||
### Формулировка
|
||||
Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$ — *условно сходящийся* ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд *сходится* к любому заранее заданному числу или расходится.
|
||||
|
||||
### Формулировка теоремы Римана
|
||||
|
||||
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ — условно сходящийся ряд. Тогда существует такая перестановка членов ряда, что переставленный ряд сходится к любому заранее заданному числу или расходится.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}$.
|
||||
|
||||
Этот ряд условно сходится. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
|
||||
%%
|
||||
###
|
||||
Пример
|
||||
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} \frac 1 n}$.
|
||||
|
||||
Этот ряд *условно сходится*. Согласно теореме Римана, можно переставить члены этого ряда так, чтобы он сходился к любому заранее заданному числу или расходился.
|
||||
%%
|
||||
@ -1,37 +1,29 @@
|
||||
## Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.
|
||||
|
||||
### Определение двойного интеграла
|
||||
|
||||
### Определение
|
||||
Двойной интеграл функции двух переменных $f(x, y)$ по области $D$ на плоскости $xy$ определяется как предел суммы Римана при стремлении диаметров подобластей к нулю. Формально, если $D$ разбита на $n$ подобластей $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, то двойной интеграл определяется как:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i,$$
|
||||
$$\iint\limits_D f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^n f(x_i, y_i) \Delta A_i,$$
|
||||
|
||||
где $(x_i, y_i)$ — произвольная точка в подобласти $D_i$, а $\Delta A_i$ — площадь подобласти $D_i$.
|
||||
|
||||
### Свойства двойного интеграла
|
||||
|
||||
### Свойства
|
||||
1. **Линейность**:
|
||||
- Если $f(x, y)$ и $g(x, y)$ интегрируемы на $D$, то для любых констант $a$ и $b$:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint_{D} f(x, y) \, dA + b \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$
|
||||
$$\iint\limits_D (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint\limits_D f(x, y) \, dA + b \iint\limits_D g(x, y) \, dA$$
|
||||
|
||||
2. **Аддитивность**:
|
||||
- Если $D$ разбита на две непересекающиеся области $D_1$ и $D_2$, то:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \iint_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint_{D_2} f(x, y) \, dA.$$
|
||||
$$\iint\limits_D f(x, y) \, dA = \iint\limits_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint\limits_{D_2} f(x, y) \, dA$$
|
||||
|
||||
3. **Монотонность**:
|
||||
- Если $f(x, y) \geq g(x, y)$ для всех $(x, y)$ в $D$, то:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} f(x, y) \, dA \geq \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$
|
||||
$$\iint\limits_D f(x, y) \, dA \geq \iint\limits_D g(x, y) \, dA$$
|
||||
|
||||
4. **Абсолютная интегрируемость**:
|
||||
- Если $f(x, y)$ интегрируема на $D$, то и $|f(x, y)|$ также интегрируема на $D$, причем:
|
||||
|
||||
$$\left| \iint_{D} f(x, y) \, dA \right| \leq \iint_{D} |f(x, y)| \, dA.$$
|
||||
$$\left| \iint\limits_D f(x, y) \, dA \right| \leq \iint\limits_D |f(x, y)| \, dA$$
|
||||
|
||||
### Теорема существования двойного интеграла
|
||||
|
||||
Теорема существования двойного интеграла утверждает, что если функция $f(x, y)$ непрерывна на замкнутой и ограниченной области $D$, то двойной интеграл $\iint_{D} f(x, y) \, dA$ существует.
|
||||
|
||||
Формально, если $f(x, y)$ непрерывна на $D$, то для любого разбиения области $D$ на подобласти $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, сумма Римана:
|
||||
@ -41,17 +33,13 @@ $$\sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i$$
|
||||
имеет предел при $\delta_i \to 0$, и этот предел не зависит от выбора точек $(x_i, y_i)$ в подобластях $D_i$.
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла. Пусть $f(x, y) = x^2 y$ и область $D$ ограничена прямоугольником с вершинами $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,2)$, $(0,2)$. Тогда двойной интеграл можно вычислить как:
|
||||
|
||||
$$\iint_{D} x^2 y \, dA = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x^2 y \, dx \, dy.$$
|
||||
$$\iint\limits_D x^2 y \, dA = \int_0^2 \int_0^1 x^2 y \, dx \, dy$$
|
||||
|
||||
Вычислим внутренний интеграл:
|
||||
|
||||
$$\int_{0}^{1} x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_{0}^{1} = \frac{y}{3}.$$
|
||||
$$\int\limits_0^1 x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_0^1 = \frac y 3$$
|
||||
|
||||
Теперь вычислим внешний интеграл:
|
||||
|
||||
$$\int_{0}^{2} \frac{y}{3} \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_{0}^{2} = \frac{4}{3}.$$
|
||||
$$\int\limits_0^2 \frac y 3 \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_0^2 = \frac 2 3$$
|
||||
|
||||
Таким образом, значение двойного интеграла равно $\frac{4}{3}$.
|
||||
@ -1,49 +1,35 @@
|
||||
## Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла
|
||||
|
||||
### 1. Вычисление площади области
|
||||
|
||||
Одной из основных задач, приводящих к понятию двойного интеграла, является вычисление площади области $D$ на плоскости $xy$. Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла:
|
||||
|
||||
$$A=\iint_{D}dA=\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$
|
||||
Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла:
|
||||
$$A = \iint\limits_D dA = \int\limits_a^b \int\limits_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$
|
||||
|
||||
### 2. Вычисление объема тела
|
||||
|
||||
Двойной интеграл также используется для вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=f(x,y)$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$. Если $D$ — область на плоскости $xy$, то объем тела можно вычислить как:
|
||||
|
||||
$$V=\iint_{D}f(x,y)\,dA.$$
|
||||
$$V = \iint\limits_D f(x,y)\,dA.$$
|
||||
|
||||
### 3. Вычисление массы пластины
|
||||
|
||||
Если плотность пластины $\rho(x,y)$ задана как функция координат $(x,y)$, то масса пластины, занимающей область $D$, можно вычислить с помощью двойного интеграла:
|
||||
|
||||
$$M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA.$$
|
||||
$$M = \iint\limits_D \rho(x,y)\,dA.$$
|
||||
|
||||
### 4. Вычисление центра масс пластины
|
||||
|
||||
Центр масс пластины с плотностью $\rho(x,y)$ и областью $D$ можно найти, используя двойные интегралы. Координаты центра масс $(x_c,y_c)$ определяются как:
|
||||
|
||||
$$x_c=\frac{\iint_{D}x\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$
|
||||
|
||||
$$y_c=\frac{\iint_{D}y\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$
|
||||
$$x_c = \frac{\iint_D x\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$
|
||||
$$y_c = \frac{\iint_D y\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$
|
||||
|
||||
### 5. Вычисление моментов инерции
|
||||
|
||||
Моменты инерции пластины относительно осей $x$ и $y$ также можно вычислить с помощью двойных интегралов. Моменты инерции $I_x$ и $I_y$ определяются как:
|
||||
|
||||
$$I_x=\iint_{D}y^2\rho(x,y)\,dA,$$
|
||||
$$I_x = \iint\limits_D y^2\rho(x,y)\,dA,$$
|
||||
|
||||
### Пример
|
||||
|
||||
Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=x^2+y^2$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$ в пределах круга радиуса 1. Область $D$ — это круг радиуса 1, центрированный в начале координат. В полярных координатах $(r,\theta)$ область $D$ описывается как $0\leq r\leq1$ и $0\leq\theta\leq2\pi$. Тогда объем тела можно вычислить как:
|
||||
|
||||
$$V=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2r\,dr\,d\theta.$$
|
||||
$$V=\iint\limits_D (x^2+y^2)\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2r \, dr \, d\theta$$
|
||||
|
||||
Вычислим внутренний интеграл:
|
||||
|
||||
$$\int_{0}^{1}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.$$
|
||||
$$\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4} 4 \right]_0^1 = \frac 1 4$$
|
||||
|
||||
Теперь вычислим внешний интеграл:
|
||||
|
||||
$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta=\frac{1}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}.$$
|
||||
$$\int_0^{2\pi} \frac 1 4 \, d\theta = \frac 1 4 \cdot 2\pi = \frac \pi 2$$
|
||||
|
||||
Таким образом, объем тела равен $\frac{\pi}{2}$.
|
||||
@ -1,4 +1,4 @@
|
||||
## Тема 1. Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье.
|
||||
### Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье
|
||||
1. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1|Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. ]]
|
||||
2. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2|Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость. ]]
|
||||
3. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3| Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. ]]
|
||||
@ -22,7 +22,8 @@
|
||||
21. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21|Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.]]
|
||||
22. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22|Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.]]
|
||||
23. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23|Разложение в ряд Фурье непериодической функции.]]
|
||||
## Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
|
||||
|
||||
### Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
|
||||
24. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24|Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.]]
|
||||
25. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25|Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.]]
|
||||
26. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26|Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах: сведение двойного интеграла к повторному.]]
|
||||
@ -43,4 +44,4 @@
|
||||
41. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41|Поверхностные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода.]]
|
||||
42. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42|Формула Остроградского-Гаусса.]]
|
||||
43. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43|Формула Стокса.]]
|
||||
44. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44|Приложения поверхностных интегралов второго рода.]]
|
||||
44. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44|Приложения поверхностных интегралов второго рода.]]
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user