3.1 KiB
Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла
1. Вычисление площади области
Если область D ограничена кривыми y=f(x) и y=g(x) на интервале [a,b], то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла:
A = \iint\limits_D dA = \int\limits_a^b \int\limits_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.
2. Вычисление объема тела
Двойной интеграл также используется для вычисления объема тела, ограниченного поверхностью z=f(x,y) и проекцией этой поверхности на плоскость xy. Если D — область на плоскости xy, то объем тела можно вычислить как:
V = \iint\limits_D f(x,y)\,dA.
3. Вычисление массы пластины
Если плотность пластины \rho(x,y) задана как функция координат (x,y), то масса пластины, занимающей область D, можно вычислить с помощью двойного интеграла:
M = \iint\limits_D \rho(x,y)\,dA.
4. Вычисление центра масс пластины
Центр масс пластины с плотностью \rho(x,y) и областью D можно найти, используя двойные интегралы. Координаты центра масс (x_c,y_c) определяются как:
x_c = \frac{\iint_D x\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},
y_c = \frac{\iint_D y\rho(x,y)\,dA} {\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.
5. Вычисление моментов инерции
Моменты инерции пластины относительно осей x и y также можно вычислить с помощью двойных интегралов. Моменты инерции I_x и I_y определяются как:
I_x = \iint\limits_D y^2\rho(x,y)\,dA,
Пример
Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью z=x^2+y^2 и проекцией этой поверхности на плоскость xy в пределах круга радиуса 1. Область D — это круг радиуса 1, центрированный в начале координат. В полярных координатах (r,\theta) область D описывается как 0\leq r\leq1 и 0\leq\theta\leq2\pi. Тогда объем тела можно вычислить как:
V=\iint\limits_D (x^2+y^2)\,dA = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2r \, dr \, d\theta
Вычислим внутренний интеграл:
\int_0^1 r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4} 4 \right]_0^1 = \frac 1 4
Теперь вычислим внешний интеграл:
\int_0^{2\pi} \frac 1 4 \, d\theta = \frac 1 4 \cdot 2\pi = \frac \pi 2
Таким образом, объем тела равен \frac{\pi}{2}.