University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14.md

Степенной ряд. Первая теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал сходимости. Промежуток сходимости.

Степенной ряд

Степенной ряд имеет вид \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n, где a_n — коэффициенты, а x — переменная. ^e4c1fc

Радиус сходимости степенного ряда \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n — это число R, такое что ряд сходится для всех |x|<R и расходится для всех |x|>R. Радиус сходимости можно найти с помощью формулы Коши-Адамара: R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}} ^92c7d3

Интервал сходимости степенного ряда — это интервал (-R,R), где R — радиус сходимости. Внутри этого интервала ряд сходится абсолютно.

Промежуток сходимости степенного ряда — это интервал (-R,R), включая возможные точки сходимости на границах интервала. Внутри промежутка сходимости ряд сходится абсолютно, а на границах сходимость ряда может зависеть от значений коэффициентов a_n.

Первая теорема Абеля

Первая теорема Абеля утверждает, что если степенной ряд \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n сходится в точке x=R (где R — радиус сходимости), то он 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/11#^392550 на интервале [0,R].

Формулировка

Пусть степенной ряд \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n сходится в точке x=R. Тогда ряд сходится равномерно на интервале [0,R].

Доказательство

Рассмотрим частичные суммы ряда S_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_kx^k. Поскольку ряд сходится в точке x=R, то для любого \varepsilon > 0 существует такое число N(\varepsilon), что для всех n \geq N(\varepsilon) выполняется |S(R)-S_n(R)| < \varepsilon

Теперь рассмотрим разность частичных сумм S_m(x)-S_n(x) для m>n: |S_m(x)-S_n(x)| = \left| \sum\limits_{k=n+1}^m a_kx^k \right| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kx^k| \leq \sum\limits_{k=n+1}^m |a_kR^k|

Поскольку ряд сходится в точке x=R, то и разность \sum\limits_{k=n+1}^{m}|a_kR^k| ограничена. Следовательно, последовательность S_n(x) является фундаментальной (последовательность Коши), а значит, равномерно сходится на интервале [0,R].

Примеры

1. \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} Найдем радиус сходимости: R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty

   Таким образом, ряд сходится для всех x \in \mathbb{R}.

2. \sum\limits_{n=0}^\infty x^n Найдем радиус сходимости: R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|}} = 1

   Таким образом, ряд сходится для всех |x|<1 и расходится для всех |x|>1.