9.8 KiB
Приложения определенного интеграла в геометрии: длина кривой, площадь криволинейной трапеции
Площадь плоской фигуры
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x) и осью абсцисс на отрезке [a, b]. Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:
S = \int_a^b f(x) \, dx.
Пример
Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = x^2 и осью абсцисс на отрезке [0, 1].
Решение: Подставим функцию f(x) = x^2 в формулу для площади:
S = \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}.
Ответ: \frac{1}{3}.
Объем тела вращения вокруг оси абсцисс
Пусть дана непрерывная функция f(x) на отрезке [a, b]. Тогда объем тела, полученного вращением этой функции вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле:
V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx.
Пример
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции f(x) = x вокруг оси абсцисс на отрезке [0, 1].
Решение: Подставим функцию f(x) = x в формулу для объема:
V = \pi \int_0^1 x^2 \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}.
Ответ: \frac{\pi}{3}.
Объем тела вращения вокруг оси ординат
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x) и осью абсцисс на отрезке [a, b]. Тогда объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси ординат, вычисляется по формуле:
V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx.
Эта формула также известна как формула Гельдерлина-Паппа.
Пример
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции f(x) = x^2 вокруг оси ординат на отрезке [0, 1].
Решение: Подставим функцию f(x) = x^2 в формулу для объема:
V = 2\pi \int_0^1 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^1 x^3 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}.
Ответ: \frac{\pi}{2}.
Метод дисков
Метод дисков - это один из методов вычисления объема тела вращения. Он основан на представлении тела вращения в виде бесконечного числа тонких дисков. Рассмотрим более подробно этот метод.
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x) и осью абсцисс на отрезке [a, b]. Разделим этот отрезок на n равных частей длиной \Delta x = \frac{b - a}{n}. Тогда объем тела вращения, полученного вращением этой фигуры вокруг оси ординат, можно приближенно вычислить как сумму объемов n тонких цилиндрических дисков:
V \approx \sum_{i=1}^n \pi (f(x_i))^2 \Delta x,
где x_i - точка на отрезке [a, b], соответствующая $i$-му диску.
Если перейти к пределу при n \to \infty, то получим точную формулу для объема тела вращения:
V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx.
Пример
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции f(x) = x вокруг оси ординат на отрезке [0, 1] с помощью метода дисков.
Решение: Подставим функцию f(x) = x в формулу для объема:
V = \pi \int_0^1 (x)^2 \, dx = \pi \int_0^1 x^2 \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}.
Ответ: \frac{\pi}{3}.
Метод цилиндрических колец
Метод цилиндрических колец - это другой метод вычисления объема тела вращения. Он основан на представлении тела вращения в виде бесконечного числа тонких цилиндрических колец. Рассмотрим более подробно этот метод.
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x) и осью абсцисс на отрезке [a, b]. Разделим этот отрезок на n равных частей длиной \Delta x = \frac{b - a}{n}. Тогда объем тела вращения, полученного вращением этой фигуры вокруг оси ординат, можно приближенно вычислить как сумму объемов n тонких цилиндрических колец:
V \approx \sum_{i=1}^n 2\pi x_i f(x_i) \Delta x,
где x_i - точка на отрезке [a, b], соответствующая $i$-му кольцу.
Если перейти к пределу при n \to \infty, то получим точную формулу для объема тела вращения:
V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx.
Этот метод называется методом цилиндрических колец.
Пример
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции f(x) = x^2 вокруг оси ординат на отрезке [0, 1] с помощью метода цилиндрических колец.
Решение: Подставим функцию f(x) = x^2 в формулу для объема:
V = 2\pi \int_0^1 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^1 x^3 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}.
Ответ: \frac{\pi}{2}.
Длина кривой
Пусть дана кривая y = f(x), где f(x) - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке [a, b]. Тогда длина дуги кривой между точками A(a, f(a)) и B(b, f(b)) вычисляется по формуле:
L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx.
Здесь f'(x) - производная функции f(x) по переменной x.
Пример
Вычислим длину дуги параболы y = x^2 между точками A(0, 0) и B(1, 1).
Решение: Найдем производную функции f(x) = x^2:
f'(x) = 2x.
Теперь подставим это выражение в формулу для длины дуги:
L = \int_0^1 \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} \, dx.
Для вычисления этого интеграла воспользуемся заменой переменных:
\begin{cases}
u = 1 + 4x^2, \\
du = 8x \, dx.
\end{cases}
Тогда пределы интегрирования изменятся следующим образом: u(0) = 1 и u(1) = 5. Кроме того, dx = \frac{1}{8x} du. Теперь мы можем переписать интеграл:
L = \frac{1}{8} \int_1^5 \sqrt{u} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{u - 1}{4}}} \, du = \frac{1}{4} \int_1^5 \sqrt{\frac{u}{u - 1}} \, du.
Для вычисления этого интеграла снова воспользуемся заменой переменных:
\begin{cases}
t = \sqrt{\frac{u}{u - 1}}, \\
dt = -\frac{1}{2(u - 1)\sqrt{\frac{u}{u - 1}}} \, du.
\end{cases}
Тогда пределы интегрирования изменятся следующим образом: t(1) = 1 и t(5) = \sqrt{2}. Кроме того, du = -2(u - 1)t \, dt. Теперь мы можем переписать интеграл:
L = -\frac{1}{2} \int_1^{\sqrt{2}} t^2 \, dt = -\frac{1}{2} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} = -\frac{1}{6} (2\sqrt{2} - 1) = \frac{1}{6} (1 - 2\sqrt{2}).
Ответ: \frac{1}{6} (1 - 2\sqrt{2}).
Площадь криволинейной трапеции
Пусть даны две непрерывные функции f(x) и g(x) на отрезке [a, b], причем f(x) \ge g(x) для всех x \in [a, b]. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций f(x) и g(x) и прямыми x = a и x = b, вычисляется по формуле:
S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx.
Пример
Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций f(x) = x^2 и g(x) = x на отрезке [0, 1].
Решение: Найдем разность функций:
f(x) - g(x) = x^2 - x.
Теперь подставим это выражение в формулу для площади криволинейной трапеции:
S = \int_0^1 (x^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}.
Ответ: \frac{1}{6}.