197 lines
9.8 KiB
Markdown
197 lines
9.8 KiB
Markdown
|
Приложения определенного интеграла в геометрии: длина кривой, площадь криволинейной трапеции
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Площадь плоской фигуры
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)$ и осью абсцисс на отрезке $[a, b]$. Тогда площадь этой фигуры вычисляется по формуле:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
S = \int_a^b f(x) \, dx.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Пример
|
|||
|
|
Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции $f(x) = x^2$ и осью абсцисс на отрезке $[0, 1]$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x^2$ в формулу для площади:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
S = \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Ответ**: $\frac{1}{3}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Объем тела вращения вокруг оси абсцисс
|
|||
|
|
Пусть дана непрерывная функция $f(x)$ на отрезке $[a, b]$. Тогда объем тела, полученного вращением этой функции вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Пример
|
|||
|
|
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции $f(x) = x$ вокруг оси абсцисс на отрезке $[0, 1]$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x$ в формулу для объема:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V = \pi \int_0^1 x^2 \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Ответ**: $\frac{\pi}{3}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Объем тела вращения вокруг оси ординат
|
|||
|
|
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)$ и осью абсцисс на отрезке $[a, b]$. Тогда объем тела, полученного вращением этой фигуры вокруг оси ординат, вычисляется по формуле:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Эта формула также известна как формула Гельдерлина-Паппа.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Пример
|
|||
|
|
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции $f(x) = x^2$ вокруг оси ординат на отрезке $[0, 1]$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x^2$ в формулу для объема:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V = 2\pi \int_0^1 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^1 x^3 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Ответ**: $\frac{\pi}{2}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Метод дисков
|
|||
|
|
Метод дисков - это один из методов вычисления объема тела вращения. Он основан на представлении тела вращения в виде бесконечного числа тонких дисков. Рассмотрим более подробно этот метод.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)$ и осью абсцисс на отрезке $[a, b]$. Разделим этот отрезок на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \frac{b - a}{n}$. Тогда объем тела вращения, полученного вращением этой фигуры вокруг оси ординат, можно приближенно вычислить как сумму объемов $n$ тонких цилиндрических дисков:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V \approx \sum_{i=1}^n \pi (f(x_i))^2 \Delta x,
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $x_i$ - точка на отрезке $[a, b]$, соответствующая $i$-му диску.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Если перейти к пределу при $n \to \infty$, то получим точную формулу для объема тела вращения:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V = \pi \int_a^b (f(x))^2 \, dx.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример
|
|||
|
|
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции $f(x) = x$ вокруг оси ординат на отрезке $[0, 1]$ с помощью метода дисков.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x$ в формулу для объема:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V = \pi \int_0^1 (x)^2 \, dx = \pi \int_0^1 x^2 \, dx = \pi \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{\pi}{3}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Ответ**: $\frac{\pi}{3}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Метод цилиндрических колец
|
|||
|
|
Метод цилиндрических колец - это другой метод вычисления объема тела вращения. Он основан на представлении тела вращения в виде бесконечного числа тонких цилиндрических колец. Рассмотрим более подробно этот метод.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть дана плоская фигура, ограниченная графиком непрерывной функции $f(x)$ и осью абсцисс на отрезке $[a, b]$. Разделим этот отрезок на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \frac{b - a}{n}$. Тогда объем тела вращения, полученного вращением этой фигуры вокруг оси ординат, можно приближенно вычислить как сумму объемов $n$ тонких цилиндрических колец:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V \approx \sum_{i=1}^n 2\pi x_i f(x_i) \Delta x,
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
где $x_i$ - точка на отрезке $[a, b]$, соответствующая $i$-му кольцу.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Если перейти к пределу при $n \to \infty$, то получим точную формулу для объема тела вращения:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Этот метод называется методом цилиндрических колец.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример
|
|||
|
|
Вычислим объем тела, полученного вращением графика функции $f(x) = x^2$ вокруг оси ординат на отрезке $[0, 1]$ с помощью метода цилиндрических колец.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Решение**: Подставим функцию $f(x) = x^2$ в формулу для объема:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
V = 2\pi \int_0^1 x \cdot x^2 \, dx = 2\pi \int_0^1 x^3 \, dx = 2\pi \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{\pi}{2}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Ответ**: $\frac{\pi}{2}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Длина кривой
|
|||
|
|
Пусть дана кривая $y = f(x)$, где $f(x)$ - непрерывно дифференцируемая функция на отрезке $[a, b]$. Тогда длина дуги кривой между точками $A(a, f(a))$ и $B(b, f(b))$ вычисляется по формуле:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
L = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} \, dx.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Здесь $f'(x)$ - производная функции $f(x)$ по переменной $x$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Пример
|
|||
|
|
Вычислим длину дуги параболы $y = x^2$ между точками $A(0, 0)$ и $B(1, 1)$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Решение**: Найдем производную функции $f(x) = x^2$:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f'(x) = 2x.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим это выражение в формулу для длины дуги:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
L = \int_0^1 \sqrt{1 + (2x)^2} \, dx = \int_0^1 \sqrt{1 + 4x^2} \, dx.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла воспользуемся заменой переменных:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\begin{cases}
|
|||
|
|
u = 1 + 4x^2, \\
|
|||
|
|
du = 8x \, dx.
|
|||
|
|
\end{cases}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Тогда пределы интегрирования изменятся следующим образом: $u(0) = 1$ и $u(1) = 5$. Кроме того, $dx = \frac{1}{8x} du$. Теперь мы можем переписать интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
L = \frac{1}{8} \int_1^5 \sqrt{u} \cdot \frac{1}{\sqrt{\frac{u - 1}{4}}} \, du = \frac{1}{4} \int_1^5 \sqrt{\frac{u}{u - 1}} \, du.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Для вычисления этого интеграла снова воспользуемся заменой переменных:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
\begin{cases}
|
|||
|
|
t = \sqrt{\frac{u}{u - 1}}, \\
|
|||
|
|
dt = -\frac{1}{2(u - 1)\sqrt{\frac{u}{u - 1}}} \, du.
|
|||
|
|
\end{cases}
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Тогда пределы интегрирования изменятся следующим образом: $t(1) = 1$ и $t(5) = \sqrt{2}$. Кроме того, $du = -2(u - 1)t \, dt$. Теперь мы можем переписать интеграл:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
L = -\frac{1}{2} \int_1^{\sqrt{2}} t^2 \, dt = -\frac{1}{2} \left[ \frac{t^3}{3} \right]_1^{\sqrt{2}} = -\frac{1}{6} (2\sqrt{2} - 1) = \frac{1}{6} (1 - 2\sqrt{2}).
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Ответ**: $\frac{1}{6} (1 - 2\sqrt{2})$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
# Площадь криволинейной трапеции
|
|||
|
|
Пусть даны две непрерывные функции $f(x)$ и $g(x)$ на отрезке $[a, b]$, причем $f(x) \ge g(x)$ для всех $x \in [a, b]$. Тогда площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций $f(x)$ и $g(x)$ и прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется по формуле:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \, dx.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Пример
|
|||
|
|
Вычислим площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками функций $f(x) = x^2$ и $g(x) = x$ на отрезке $[0, 1]$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Решение**: Найдем разность функций:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
f(x) - g(x) = x^2 - x.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Теперь подставим это выражение в формулу для площади криволинейной трапеции:
|
|||
|
|
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
S = \int_0^1 (x^2 - x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}.
|
|||
|
|
$$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
**Ответ**: $\frac{1}{6}$.
|