vault backup: 2024-10-12 16:09:38

2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+# Ряд
+## Числовой ряд
+### Основные понятия
+**Числовой ряд** - выражение вида $\sum\limits^\infty_{n=1} a_n$, где $a_1, a_2, \dots$ - действительные члены ряда, $a_n$ - общий член ряда
+**Сумма ряда** $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = S$

2 курс/1 семестр/Математическая логика и теория алгоритмов/Конспект.md

@@ -0,0 +1,74 @@
+# Язык логики первого порядка
+> [!Легенда]
+> $U$ - универс
+> Предикат - высказывание, отношение
+ 
+$U^k = \set{(u_1 \dots u_k) | u_i \in U}$
+$\rho \subset U^k$ определяет k-ый предикат
+$\rho(u_1 \dots u_k) = 1 \Leftrightarrow (u_1 \dots u_k) \in rho$
+$\phi \subset U^{k+1}$
+$\phi(a_1 \dots a_k, f(a_1 \dots a_k)) = 1$
+
+$y = x^2$
+$\phi = \set{(x, x^2) | x \in \mathbb R}$
+$\phi^{-1} = \set{(x^2, x) | x \in \mathbb R}$
+$y = \sqrt x$
+
+1. Нелогические символы
+	1. Обозначения функций
+	2. Обозначения предметов
+	3. Обозначения констант
+	4. Имена переменных
+
+2. Логические символы
+	1. Конъюнкция
+	2. Отрицание
+	3. Дизъюнкция
+	4. Логическое следование
+	5. Квантры ($\forall$, $\exists$)
+
+3. Терм
+	1. Переменные и константы
+	2. $f(x_1 \dots x_k)$ - функция и $t_1 \dots t_k$ - термы $\rightarrow f(t_1 \dots t_k)$ - терм
+	*Примеры*: $e^x$, $\sin x$, $+$, $\times$, $\pi$, $\frac{\sin(x+y)\times e^z}e$
+
+4. Формулы (высказывания)
+	1. $p(x_1 \dots x_k)$ - предикат, $t_1, \dots, t_k$ - термы, $p(t_1 \dots t_k)$ - формула (атом)
+	2. $A, B$ - формулы тогда, $\bar A$, $A \& B$, $A \vee B$, $A \rightarrow B$ - формулы
+	3. $A(x)$ -  формула $\exists x: A(x)$ и $\forall x: A(x)$ - формулы
+	*Пример*: $\forall x: f(p(x)) \rightarrow \exists y: p(f(y))$
+
+$U = N; 0 \in \mathbb N$
+$x > y: \exists z, \overline{z = 0}: y + z = x$
+$\forall x: A(x) = \bigwedge\limits_{u \in U} A(u)$
+$\forall x: P(x) \vee \forall x: F(x) = \forall x: P(x) \vee \forall y: F(y)$
+$\forall p: \left[ \left[ P(1) \& (\forall n: P(n) \rightarrow P(n+1)) \right] \rightarrow \forall n: P(n) \right]$
+$P(x): \forall y \forall z: (x=y,z) \rightarrow (y=1 \vee \exists \nu: y = \nu+\nu)$
+---
+Термы:
+$c \in Cn \Rightarrow c$ - терм
+$x \in Var \Rightarrow x$ - терм
+$f \in Fn; t_1, \dots, t_k$ - термы
+$\Rightarrow f(t_1, \dots, t_k)$ - терм
+
+> [!Пример]
+> $L(x, y)$ - x любит y
+> $C(x)$ - корова ли
+> $h$ - сено
+> $\forall x C(x) \rightarrow L(x, h)$ - все коровы любят сено
+
+
+---
+## Формулы
+1. Задаём утверждение U
+	$P(x_1, \dots, x_k)$ - к-местный предикант
+	 $P^I(x_1, \dots, x_k)$ - конкретный предикант на U
+	 $f(x_1, \dots, x_k) \rightarrow f^I(x_1, \dots, x_k)$
+2. Инт. термов
+	$(f(t_1, \dots, t_k))^I = f^I(t^I_1, \dots, t^I_k)$
+3. Инт. связок
+	$F=\bar A \rightarrow F^I=\overline{A^I}$
+	$F = A \vee B \rightarrow F^I = A^I \vee B^I$
+	$F = A\&B \rightarrow F^I=B^I\&B^I$
+	$(F = A \rightarrow B) \rightarrow (F^I = A^I \rightarrow B^I)$
+