diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md new file mode 100644 index 0000000..6171f0d --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md @@ -0,0 +1,5 @@ +# Ряд +## Числовой ряд +### Основные понятия +**Числовой ряд** - выражение вида $\sum\limits^\infty_{n=1} a_n$, где $a_1, a_2, \dots$ - действительные члены ряда, $a_n$ - общий член ряда +**Сумма ряда** $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = S$ \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Математическая логика и теория алгоритмов/Конспект.md b/2 курс/1 семестр/Математическая логика и теория алгоритмов/Конспект.md new file mode 100644 index 0000000..937245e --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Математическая логика и теория алгоритмов/Конспект.md @@ -0,0 +1,74 @@ +# Язык логики первого порядка +> [!Легенда] +> $U$ - универс +> Предикат - высказывание, отношение + +$U^k = \set{(u_1 \dots u_k) | u_i \in U}$ +$\rho \subset U^k$ определяет k-ый предикат +$\rho(u_1 \dots u_k) = 1 \Leftrightarrow (u_1 \dots u_k) \in rho$ +$\phi \subset U^{k+1}$ +$\phi(a_1 \dots a_k, f(a_1 \dots a_k)) = 1$ + +$y = x^2$ +$\phi = \set{(x, x^2) | x \in \mathbb R}$ +$\phi^{-1} = \set{(x^2, x) | x \in \mathbb R}$ +$y = \sqrt x$ + +1. Нелогические символы + 1. Обозначения функций + 2. Обозначения предметов + 3. Обозначения констант + 4. Имена переменных + +2. Логические символы + 1. Конъюнкция + 2. Отрицание + 3. Дизъюнкция + 4. Логическое следование + 5. Квантры ($\forall$, $\exists$) + +3. Терм + 1. Переменные и константы + 2. $f(x_1 \dots x_k)$ - функция и $t_1 \dots t_k$ - термы $\rightarrow f(t_1 \dots t_k)$ - терм + *Примеры*: $e^x$, $\sin x$, $+$, $\times$, $\pi$, $\frac{\sin(x+y)\times e^z}e$ + +4. Формулы (высказывания) + 1. $p(x_1 \dots x_k)$ - предикат, $t_1, \dots, t_k$ - термы, $p(t_1 \dots t_k)$ - формула (атом) + 2. $A, B$ - формулы тогда, $\bar A$, $A \& B$, $A \vee B$, $A \rightarrow B$ - формулы + 3. $A(x)$ - формула $\exists x: A(x)$ и $\forall x: A(x)$ - формулы + *Пример*: $\forall x: f(p(x)) \rightarrow \exists y: p(f(y))$ + +$U = N; 0 \in \mathbb N$ +$x > y: \exists z, \overline{z = 0}: y + z = x$ +$\forall x: A(x) = \bigwedge\limits_{u \in U} A(u)$ +$\forall x: P(x) \vee \forall x: F(x) = \forall x: P(x) \vee \forall y: F(y)$ +$\forall p: \left[ \left[ P(1) \& (\forall n: P(n) \rightarrow P(n+1)) \right] \rightarrow \forall n: P(n) \right]$ +$P(x): \forall y \forall z: (x=y,z) \rightarrow (y=1 \vee \exists \nu: y = \nu+\nu)$ +--- +Термы: +$c \in Cn \Rightarrow c$ - терм +$x \in Var \Rightarrow x$ - терм +$f \in Fn; t_1, \dots, t_k$ - термы +$\Rightarrow f(t_1, \dots, t_k)$ - терм + +> [!Пример] +> $L(x, y)$ - x любит y +> $C(x)$ - корова ли +> $h$ - сено +> $\forall x C(x) \rightarrow L(x, h)$ - все коровы любят сено + + +--- +## Формулы +1. Задаём утверждение U + $P(x_1, \dots, x_k)$ - к-местный предикант + $P^I(x_1, \dots, x_k)$ - конкретный предикант на U + $f(x_1, \dots, x_k) \rightarrow f^I(x_1, \dots, x_k)$ +2. Инт. термов + $(f(t_1, \dots, t_k))^I = f^I(t^I_1, \dots, t^I_k)$ +3. Инт. связок + $F=\bar A \rightarrow F^I=\overline{A^I}$ + $F = A \vee B \rightarrow F^I = A^I \vee B^I$ + $F = A\&B \rightarrow F^I=B^I\&B^I$ + $(F = A \rightarrow B) \rightarrow (F^I = A^I \rightarrow B^I)$ + \ No newline at end of file