vault backup: 2024-10-12 21:28:03

.obsidian/app.json

@@ -1,3 +1,4 @@
 {
-  "alwaysUpdateLinks": true
+  "alwaysUpdateLinks": true,
+  "defaultViewMode": "preview"
 }

.obsidian/core-plugins-migration.json

@@ -9,7 +9,7 @@
   "tag-pane": true,
   "properties": false,
   "page-preview": true,
-  "daily-notes": true,
+  "daily-notes": false,
   "templates": true,
   "note-composer": true,
   "command-palette": true,

.obsidian/core-plugins.json

@@ -8,7 +8,6 @@
   "outgoing-link",
   "tag-pane",
   "page-preview",
-  "daily-notes",
   "templates",
   "note-composer",
   "command-palette",

.obsidian/plugins/webpage-html-export/data.json

@@ -1,7 +1,7 @@
 {
   "settingsVersion": "1.8.01",
-  "makeOfflineCompatible": false,
-  "inlineAssets": true,
+  "makeOfflineCompatible": true,
+  "inlineAssets": false,
   "includePluginCSS": "",
   "includeSvelteCSS": true,
   "titleProperty": "title",
@@ -16,20 +16,20 @@
   "allowResizingSidebars": true,
   "logLevel": "warning",
   "minifyHTML": true,
-  "makeNamesWebStyle": false,
+  "makeNamesWebStyle": true,
   "onlyExportModified": true,
   "deleteOldFiles": true,
   "addThemeToggle": true,
   "addOutline": true,
   "addFileNav": true,
-  "addSearchBar": false,
-  "addGraphView": false,
+  "addSearchBar": true,
+  "addGraphView": true,
   "addTitle": true,
   "addRSSFeed": true,
   "siteURL": "",
   "authorName": "",
   "vaultTitle": "Универ",
-  "exportPreset": "documents",
+  "exportPreset": "website",
   "openAfterExport": true,
   "graphAttractionForce": 1,
   "graphLinkLength": 10,
@@ -43,7 +43,7 @@
   "defaultFileIcon": "lucide//file",
   "defaultFolderIcon": "lucide//folder",
   "defaultMediaIcon": "lucide//file-image",
-  "exportPath": "C:\\Users\\Sweetbread\\Documents\\Obsidian\\",
+  "exportPath": "/tmp/University",
   "filesToExport": [
     []
   ]

2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md

@@ -1,5 +1,89 @@
 # Ряд
 ## Числовой ряд
 ### Основные понятия
-**Числовой ряд** - выражение вида $\sum\limits^\infty_{n=1} a_n$, где $a_1, a_2, \dots$ - действительные члены ряда, $a_n$ - общий член ряда
-**Сумма ряда** $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = S$
+**Числовой ряд** - выражение вида $\sum\limits^\infty_{n=1} a_n$, где $a_1, a_2, \dots$ - действительные члены ряда, $a_n$ - общий член ряда ^3caa0c
+
+**n-ая сумма ряда** $S_n = \sum\limits^i_{n=2}a_n$,
+- Если $\exists$ конечный $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = S$, то ряд *сходится*
+- Если $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = \infty$ или $\nexists$, то *расходится*
+
+#### Ряд геометрической прогрессии
+$\sum^\infty_{n=1} (b_1 \cdot q^{n-1})$
+$S_n = \frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q^n}$, $q \neq 1$
+1. $|q| < 1$:
+   $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits{n\to\infty}\frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q} = \frac{b_1}{1-q} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_1q^{n+1}}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$ - *сумма ряда*
+2. $|q| > 1$:
+   $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \infty \Rightarrow$ ряд *расходится*
+3. $q = 1$: $\sum\limits^\infty_{n=1}b_1 = b_1 \cdot n \to \infty$
+   $q = -1$:  $S =\begin{cases}b_1, & \text{n - нечётное}\\0, & \text{n - чётное}\end{cases}\Rightarrow \nexists\lim\limits_{n\to\infty}S_n$
+ $\sum\limits^n_{k=1} \frac 1 {n(n+1)} = \sum\limits^n_{k=1}(\frac 1 k - \frac 1 {k+1}) = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 2 - \frac 1 3 + \dots = 1 - \frac 1 {n+1}$; $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = 1$
+ $\sum\limits^\infty_{n=1}\frac 1 n$ - *гармонический ряд*
+## Действия с рядами
+1. Если $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся, то $\exists\alpha\in\mathbb R$ т.ч. $\sum(a_n \pm b_n)$ сходится и $\sum\alpha a_n = \alpha\sum a_n$, $\sum(a_n \pm b_n) = \sum a_n \pm \sum b_n$
+   *Доказательство*:
+- $\sum\limits^\infty_{n=1}\alpha a_n = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}\alpha a_k = \alpha \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits^n_{k=1}a_k = \alpha\sum\limits^\infty_{n=1}a_n$
+- $\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}(a_k \pm b_k) = \lim\limits{b\to\infty}\sum^n_{k=1}a_k \pm \lim\limits{b\to\infty}\sum^n_{k=1}b_k = \sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) \dots = \sum\limits^\infty_{n=1}a_n \pm \sum\limits^\infty_{n=1}b_n$ %% на паре не успел дописать%%
+   > [!замечание]
+   > 1. Из сходимости $\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n)$ следует сходимость $\sum a_n$ и $\sum b_n$
+   > 2. сх. $\pm$ расх. $=$ расх.
+   >    расх. $\pm$ расх. $=$ ? 
+   
+2. Исходный и полученный из него ряд добавлением или удалением конечного числа членов сходятся или расходятся одновременно
+## Необходимый признак сходимости
+##### Теорема 1.2: Необходимый признак сходимости
+Если $\sum\limits^\infty_{n=1}a_n$ сходится, то $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0$
+
+###### Доказательство
+Пусть $\sum a_n$ сходится, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = S < \infty$
+$\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1} = S$; $a_n = S_n - S_{n-1}$
+$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \lim\limits_{n\to\infty}(S_n - S_{n-1}) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n - \lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1} = S - S = 0$
+
+###### Следствие
+Если $\lim\limits_{b\to\infty}a_n \neq 0$, то $\sum a_n$ расходится
+
+## Ряд с неотрицательными членами
+$\sum\limits^\infty_{n=1}a_n$, $\forall n \in \mathbb N : a_n \geqslant 0$
+### Критерий сходимости
+Ряд сходится $\Leftrightarrow \exists M > 0: \forall n \in \mathbb N: S_n \leqslant M$
+##### Теорема 1.2: Признак сходимости рядов
+$\sum a_n, \sum b_n$, где $\forall n \in \mathbb N: a_n \geqslant 0, b_n \geqslant 0$
+1. Если $a_n \leqslant b_n$
+	1. $\sum b_n$ сходится $\Rightarrow \sum a_n$ сходится
+	2. $\sum a_n$ расходится $\Rightarrow \sum b_n$ расходится
+2. Если $\exists \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = A: 0 < A < +\infty$, то $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся или расходятся одновременно
+##### Теорема 1.3: Признак Даламбера
+Если $\exists \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = p$,, то при $p<1$ ряд сходится, а при $p > 1$ - расходится
+## Признаки Дериале и Коми для знакопеременных рядов
+Пусть для ряда $\sum a_n, a_n \in \mathbb R, \exists$ конечный или бесконечный $\lim\limits_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = q$ или $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = q$; $0 \leqslant \leqslant +\infty$, тогда 
+1. $q < 1$: $\sum a_n$ сходится абсолютно
+2. $q > 1$: $\sum a_n$ расходится
+3. $q = 1$: ?
+##### Теорема 1.4: Признак Дериале
+Пусть дан ряд $\sum(a_n \cdot b_n)$
+1. $a_n \underset{n\to\infty}{\to} 0$ монотонна
+2. Если $B_n = \sum b_n$ ограничена, то $\sum(a_n \cdot b_n)$ сходится ($\exists M > 0: \forall n \in \mathbb N: |B_n| < M$)
+##### Терема 1.5: Признак Абеля
+%%Не дописал%%
+
+# Функциональные ряды
+## Основные понятия
+$a_n(x), x \in X$
+$\sum a_n(x) = a_1(x) + a_2(x) + \dots$ - *функциональный ряд*
+$\sum a_n(x_0)$ - *[[#^3caa0c|числовой ряд]]*
+$S_n(x) = \sum\limits^n_{k=1}a_k(x)$ - *n-ая частичная сумма ряда*
+## Равномерная сходимость функциональных рядов
+### Свойства равномерно сходящихся рядов
+1. $\forall E > 0: \exists N = N(E) \in \mathbb N: \forall n > N: \forall x \in E: |r_n(x)| < E$
+%%тут меня не было на многих парах%%
+$f(x) \thicksim \sum\limits^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0) = S(x)$
+##### Теорема 4.1
+$f(x) = S(x) \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = 0$, где $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ - *остаточный член формулы Тейлора*
+###### Доказательство
+- $\Rightarrow$:
+  $f(x) = S(x)$, $S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)$
+  $\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(f(x) - P_n(x)) = \lim\limits_{n\to\infty}(f(x) - S_n(x)) = f(x) - \lim\limits_{n\to\infty} S_n(x) = f(x) - f(x) = 0$
+- $\Leftarrow$:
+  $\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = 0$
+  $S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}P_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(f(x) - R_n(x)) = f(x) - \lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = f(x)$
+##### Теорема 4.2: Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора
+Если $\exists M > 0: \forall x \in U(x_0): |f^{(n)}(x)| \leqslant M$, то в $U(x_0)$ $f(x) = S(x)$