diff --git a/.obsidian/app.json b/.obsidian/app.json index 6abe4c1..7db1cf0 100644 --- a/.obsidian/app.json +++ b/.obsidian/app.json @@ -1,3 +1,4 @@ { - "alwaysUpdateLinks": true + "alwaysUpdateLinks": true, + "defaultViewMode": "preview" } \ No newline at end of file diff --git a/.obsidian/core-plugins-migration.json b/.obsidian/core-plugins-migration.json index 436f43c..6d1de5e 100644 --- a/.obsidian/core-plugins-migration.json +++ b/.obsidian/core-plugins-migration.json @@ -9,7 +9,7 @@ "tag-pane": true, "properties": false, "page-preview": true, - "daily-notes": true, + "daily-notes": false, "templates": true, "note-composer": true, "command-palette": true, diff --git a/.obsidian/core-plugins.json b/.obsidian/core-plugins.json index 9405bfd..605ee48 100644 --- a/.obsidian/core-plugins.json +++ b/.obsidian/core-plugins.json @@ -8,7 +8,6 @@ "outgoing-link", "tag-pane", "page-preview", - "daily-notes", "templates", "note-composer", "command-palette", diff --git a/.obsidian/plugins/webpage-html-export/data.json b/.obsidian/plugins/webpage-html-export/data.json index 01d3a60..a584fc8 100644 --- a/.obsidian/plugins/webpage-html-export/data.json +++ b/.obsidian/plugins/webpage-html-export/data.json @@ -1,7 +1,7 @@ { "settingsVersion": "1.8.01", - "makeOfflineCompatible": false, - "inlineAssets": true, + "makeOfflineCompatible": true, + "inlineAssets": false, "includePluginCSS": "", "includeSvelteCSS": true, "titleProperty": "title", @@ -16,20 +16,20 @@ "allowResizingSidebars": true, "logLevel": "warning", "minifyHTML": true, - "makeNamesWebStyle": false, + "makeNamesWebStyle": true, "onlyExportModified": true, "deleteOldFiles": true, "addThemeToggle": true, "addOutline": true, "addFileNav": true, - "addSearchBar": false, - "addGraphView": false, + "addSearchBar": true, + "addGraphView": true, "addTitle": true, "addRSSFeed": true, "siteURL": "", "authorName": "", "vaultTitle": "Универ", - "exportPreset": "documents", + "exportPreset": "website", "openAfterExport": true, "graphAttractionForce": 1, "graphLinkLength": 10, @@ -43,7 +43,7 @@ "defaultFileIcon": "lucide//file", "defaultFolderIcon": "lucide//folder", "defaultMediaIcon": "lucide//file-image", - "exportPath": "C:\\Users\\Sweetbread\\Documents\\Obsidian\\", + "exportPath": "/tmp/University", "filesToExport": [ [] ] diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md index 6171f0d..d4c52ac 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Конспект.md @@ -1,5 +1,89 @@ # Ряд ## Числовой ряд ### Основные понятия -**Числовой ряд** - выражение вида $\sum\limits^\infty_{n=1} a_n$, где $a_1, a_2, \dots$ - действительные члены ряда, $a_n$ - общий член ряда -**Сумма ряда** $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$, $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = S$ \ No newline at end of file +**Числовой ряд** - выражение вида $\sum\limits^\infty_{n=1} a_n$, где $a_1, a_2, \dots$ - действительные члены ряда, $a_n$ - общий член ряда ^3caa0c + +**n-ая сумма ряда** $S_n = \sum\limits^i_{n=2}a_n$, +- Если $\exists$ конечный $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = S$, то ряд *сходится* +- Если $\lim\limits_{n\to\infty} S_n = \infty$ или $\nexists$, то *расходится* + +#### Ряд геометрической прогрессии +$\sum^\infty_{n=1} (b_1 \cdot q^{n-1})$ +$S_n = \frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q^n}$, $q \neq 1$ +1. $|q| < 1$: + $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \lim\limits{n\to\infty}\frac{b_1(1-q^{n+1})}{1-q} = \frac{b_1}{1-q} = \lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_1q^{n+1}}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$ - *сумма ряда* +2. $|q| > 1$: + $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = \infty \Rightarrow$ ряд *расходится* +3. $q = 1$: $\sum\limits^\infty_{n=1}b_1 = b_1 \cdot n \to \infty$ + $q = -1$: $S =\begin{cases}b_1, & \text{n - нечётное}\\0, & \text{n - чётное}\end{cases}\Rightarrow \nexists\lim\limits_{n\to\infty}S_n$ + $\sum\limits^n_{k=1} \frac 1 {n(n+1)} = \sum\limits^n_{k=1}(\frac 1 k - \frac 1 {k+1}) = 1 - \frac 1 2 + \frac 1 2 - \frac 1 3 + \dots = 1 - \frac 1 {n+1}$; $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = 1$ + $\sum\limits^\infty_{n=1}\frac 1 n$ - *гармонический ряд* +## Действия с рядами +1. Если $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся, то $\exists\alpha\in\mathbb R$ т.ч. $\sum(a_n \pm b_n)$ сходится и $\sum\alpha a_n = \alpha\sum a_n$, $\sum(a_n \pm b_n) = \sum a_n \pm \sum b_n$ + *Доказательство*: +- $\sum\limits^\infty_{n=1}\alpha a_n = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}\alpha a_k = \alpha \cdot \lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits^n_{k=1}a_k = \alpha\sum\limits^\infty_{n=1}a_n$ +- $\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits^n_{k=1}(a_k \pm b_k) = \lim\limits{b\to\infty}\sum^n_{k=1}a_k \pm \lim\limits{b\to\infty}\sum^n_{k=1}b_k = \sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n) \dots = \sum\limits^\infty_{n=1}a_n \pm \sum\limits^\infty_{n=1}b_n$ %% на паре не успел дописать%% + > [!замечание] + > 1. Из сходимости $\sum\limits^\infty_{n=1}(a_n \pm b_n)$ следует сходимость $\sum a_n$ и $\sum b_n$ + > 2. сх. $\pm$ расх. $=$ расх. + > расх. $\pm$ расх. $=$ ? + +2. Исходный и полученный из него ряд добавлением или удалением конечного числа членов сходятся или расходятся одновременно +## Необходимый признак сходимости +##### Теорема 1.2: Необходимый признак сходимости +Если $\sum\limits^\infty_{n=1}a_n$ сходится, то $\lim\limits_{n\to\infty}a_n = 0$ + +###### Доказательство +Пусть $\sum a_n$ сходится, тогда $\lim\limits_{n\to\infty}S_n = S < \infty$ +$\lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1} = S$; $a_n = S_n - S_{n-1}$ +$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = \lim\limits_{n\to\infty}(S_n - S_{n-1}) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n - \lim\limits_{n\to\infty}S_{n-1} = S - S = 0$ + +###### Следствие +Если $\lim\limits_{b\to\infty}a_n \neq 0$, то $\sum a_n$ расходится + +## Ряд с неотрицательными членами +$\sum\limits^\infty_{n=1}a_n$, $\forall n \in \mathbb N : a_n \geqslant 0$ +### Критерий сходимости +Ряд сходится $\Leftrightarrow \exists M > 0: \forall n \in \mathbb N: S_n \leqslant M$ +##### Теорема 1.2: Признак сходимости рядов +$\sum a_n, \sum b_n$, где $\forall n \in \mathbb N: a_n \geqslant 0, b_n \geqslant 0$ +1. Если $a_n \leqslant b_n$ + 1. $\sum b_n$ сходится $\Rightarrow \sum a_n$ сходится + 2. $\sum a_n$ расходится $\Rightarrow \sum b_n$ расходится +2. Если $\exists \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = A: 0 < A < +\infty$, то $\sum a_n$ и $\sum b_n$ сходятся или расходятся одновременно +##### Теорема 1.3: Признак Даламбера +Если $\exists \lim\limits_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = p$,, то при $p<1$ ряд сходится, а при $p > 1$ - расходится +## Признаки Дериале и Коми для знакопеременных рядов +Пусть для ряда $\sum a_n, a_n \in \mathbb R, \exists$ конечный или бесконечный $\lim\limits_{n\to\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = q$ или $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|} = q$; $0 \leqslant \leqslant +\infty$, тогда +1. $q < 1$: $\sum a_n$ сходится абсолютно +2. $q > 1$: $\sum a_n$ расходится +3. $q = 1$: ? +##### Теорема 1.4: Признак Дериале +Пусть дан ряд $\sum(a_n \cdot b_n)$ +1. $a_n \underset{n\to\infty}{\to} 0$ монотонна +2. Если $B_n = \sum b_n$ ограничена, то $\sum(a_n \cdot b_n)$ сходится ($\exists M > 0: \forall n \in \mathbb N: |B_n| < M$) +##### Терема 1.5: Признак Абеля +%%Не дописал%% + +# Функциональные ряды +## Основные понятия +$a_n(x), x \in X$ +$\sum a_n(x) = a_1(x) + a_2(x) + \dots$ - *функциональный ряд* +$\sum a_n(x_0)$ - *[[#^3caa0c|числовой ряд]]* +$S_n(x) = \sum\limits^n_{k=1}a_k(x)$ - *n-ая частичная сумма ряда* +## Равномерная сходимость функциональных рядов +### Свойства равномерно сходящихся рядов +1. $\forall E > 0: \exists N = N(E) \in \mathbb N: \forall n > N: \forall x \in E: |r_n(x)| < E$ +%%тут меня не было на многих парах%% +$f(x) \thicksim \sum\limits^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0) = S(x)$ +##### Теорема 4.1 +$f(x) = S(x) \Leftrightarrow \lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = 0$, где $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$ - *остаточный член формулы Тейлора* +###### Доказательство +- $\Rightarrow$: + $f(x) = S(x)$, $S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)$ + $\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(f(x) - P_n(x)) = \lim\limits_{n\to\infty}(f(x) - S_n(x)) = f(x) - \lim\limits_{n\to\infty} S_n(x) = f(x) - f(x) = 0$ +- $\Leftarrow$: + $\lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = 0$ + $S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}P_n(x) = \lim\limits_{n\to\infty}(f(x) - R_n(x)) = f(x) - \lim\limits_{n\to\infty}R_n(x) = f(x)$ +##### Теорема 4.2: Достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора +Если $\exists M > 0: \forall x \in U(x_0): |f^{(n)}(x)| \leqslant M$, то в $U(x_0)$ $f(x) = S(x)$ \ No newline at end of file