2.7 KiB
Разложение элементарных функций в ряд Маклорена
Введение
Ряд Маклорена — это частный случай 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/18#Ряд Тейлора, когда точка разложения x_0=0. Ряд Маклорена для функции f(x) имеет вид: f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
Разложение элементарных функций
Экспоненциальная функция
Функция f(x) = e^x разлагается в ряд Маклорена следующим образом: e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
Доказательство
Вычислим производные функции f(x) = e^x: f^{(n)}(x) = e^x
Таким образом, f^{(n)}(0) = 1 для всех n. Подставим это в формулу ряда Маклорена: e^x = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac 1 {n!} x^n
Синус
Функция f(x) = \sin(x) разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
\sin(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
Доказательство
Вычислим производные функции f(x)=\sin(x):
f^{(2n)}(x) = (-1)^n \sin(x)
f^{(2n+1)}(x) = (-1)^n \cos(x)
Таким образом, f^{(2n)}(0) = 0 и f^{(2n+1)}(0) = (-1)^n. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
Косинус
Функция f(x) = \cos(x) разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
\cos(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}
Доказательство
Вычислим производные функции f(x)=\cos(x):
f^{(2n)}(x)=(-1)^n\cos(x)
f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\sin(x)
Таким образом, f^{(2n)}(0)=(-1)^n и f^{(2n+1)}(0)=0. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}
Логарифм
Функция f(x) = \ln(1+x) разлагается в ряд Маклорена следующим образом:
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n
Доказательство
Вычислим производные функции f(x) = \ln(1+x):
f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}(n-1)! (1+x)^{-n}
Таким образом, f^{(n)}(0) = (-1)^{n+1} (n-1)!. Подставим это в формулу ряда Маклорена:
\ln(1+x) = \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n} n