Полноценно готов Второй блок билетов

1 курс/2 семестр/Вышмат/Билеты/Раздел 2/5.md

@@ -0,0 +1,140 @@
+> Частные производные первого порядка, дифференциал первого порядка функции двух переменных: определения, арифметические свойства:
+
+Определение:
+
+Пусть $f(x, y)$ - функция двух переменных, заданная в некоторой окрестности точки $(x_0, y_0)$. Частной производной функции $f(x, y)$ по переменной $x$ в точке $(x_0, y_0)$ называется предел:
+
+$$
+\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}
+$$
+
+Обозначается она следующим образом:
+
+$$
+f'_x(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)
+$$
+
+Аналогично определяется частная производная функции $f(x, y)$ по переменной $y$ в точке $(x_0, y_0)$:
+
+$$
+\lim_{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}
+$$
+
+Обозначается она следующим образом:
+
+$$
+f'_y(x_0, y_0) \text{ или } \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)
+$$
+
+Дифференциалом первого порядка функции $f(x, y)$ в точке $(x\_0, y\_0)$ называется линейная функция $\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y$, где $\Delta x$ и $\Delta y$ - приращения переменных $x$ и $y$ соответственно.
+
+$$
+\Delta z = f'_x(x_0, y_0) \Delta x + f'_y(x_0, y_0) \Delta y
+$$
+
+Арифметические свойства частных производных и дифференциала:
+
+1. Линейность частных производных:
+
+$$
+(kf(x, y))'_x = kf'_x(x, y), \quad (kf(x, y))'_y = kf'_y(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \pm g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \pm g'_x(x, y), \quad (f(x, y) \pm g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \pm g'_y(x, y)
+$$
+
+2. Произведение функций:
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))'_x = f'_x(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_x(x, y)
+$$
+
+$$
+(f(x, y) \cdot g(x, y))'_y = f'_y(x, y) \cdot g(x, y) + f(x, y) \cdot g'_y(x, y)
+$$
+
+3. Частное функций:
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_x = \frac{f'_x(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_x(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+$$
+\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right)'_y = \frac{f'_y(x, y) \cdot g(x, y) - f(x, y) \cdot g'_y(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+4. Дифференциал суммы функций равен сумме дифференциалов:
+
+$$
+\Delta(f(x, y) + g(x, y)) = \Delta f(x, y) + \Delta g(x, y)
+$$
+
+5. Дифференциал произведения функций равен сумме произведений функций на дифференциалы:
+
+$$
+\Delta(f(x, y) \cdot g(x, y)) = f(x, y) \cdot \Delta g(x, y) + g(x, y) \cdot \Delta f(x, y)
+$$
+
+6. Дифференциал частного функций равен частному от разности произведений функций на дифференциалы на квадрат знаменателя:
+
+$$
+\Delta\left(\frac{f(x, y)}{g(x, y)}\right) = \frac{g(x, y) \cdot \Delta f(x, y) - f(x, y) \cdot \Delta g(x, y)}{g^2(x, y)}
+$$
+
+Примеры:
+
+1. Найти частные производные функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
+
+Решение:
+
+Найдем частную производную по переменной $x$:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_x(1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3 \cdot 2^2 = 16
+$$
+
+Найдем частную производную по переменной $y$:
+
+$$
+f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_y(1, 2) = 1^2 + 6 \cdot 1 \cdot 2 = 13
+$$
+
+Ответ: $f'_x(1, 2) = 16$, $f'_y(1, 2) = 13$.
+
+2. Найти дифференциал функции $f(x, y) = x^2y + 3xy^2$ в точке $(1, 2)$.
+
+Решение:
+
+Найдем частные производные функции:
+
+$$
+f'_x(x, y) = 2xy + 3y^2, \quad f'_y(x, y) = x^2 + 6xy
+$$
+
+Подставим значения $x = 1$ и $y = 2$:
+
+$$
+f'_x(1, 2) = 16, \quad f'_y(1, 2) = 13
+$$
+
+Найдем дифференциал функции:
+
+$$
+\Delta z = f'_x(1, 2) \Delta x + f'_y(1, 2) \Delta y = 16 \Delta x + 13 \Delta y
+$$
+
+Ответ: $\Delta z = 16 \Delta x + 13 \Delta y$.
+