Добавлен 2 блок билетов по мат анализу

2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42.md

@@ -0,0 +1,45 @@
+## Формула Остроградского-Гаусса
+
+### Формулировка теоремы Остроградского-Гаусса
+
+Пусть $V$ — область в трёхмерном пространстве, ограниченная замкнутой поверхностью $S$, и пусть $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определённое на $V$ и $S$. Тогда:
+
+$$\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\oiint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,$$
+
+где $\nabla\cdot\mathbf{F}$ — дивергенция векторного поля $\mathbf{F}$, а $\mathbf{n}$ — единичный вектор внешней нормали к поверхности $S$.
+
+### Доказательство теоремы Остроградского-Гаусса
+
+Доказательство теоремы Остроградского-Гаусса основано на применении теоремы Стокса и свойств дивергенции векторного поля. Мы не будем приводить полное доказательство, но отметим, что оно включает использование теоремы о потоке векторного поля через замкнутую поверхность и теоремы о циркуляции векторного поля.
+
+### Применение теоремы Остроградского-Гаусса
+
+Теорема Остроградского-Гаусса имеет множество приложений в физике и математике. Рассмотрим несколько примеров.
+
+#### Пример 1: Вычисление потока векторного поля
+
+Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и область $V$, ограниченную сферой радиуса $R$, центрированной в начале координат. Поверхность $S$ — это сфера радиуса $R$.
+
+Сначала вычислим дивергенцию векторного поля:
+
+$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3.$$
+
+Теперь применим теорему Остроградского-Гаусса:
+
+$$\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\iiint_{V}3\,dV=3\iiint_{V}\,dV=3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3.$$
+
+Таким образом, поток векторного поля через поверхность $S$ равен $4\pi R^3$.
+
+#### Пример 2: Вычисление объема области
+
+Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и область $V$, ограниченную кубом с вершинами $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(1,1,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,1)$, $(0,1,1)$. Поверхность $S$ — это грани куба.
+
+Сначала вычислим дивергенцию векторного поля:
+
+$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3.$$
+
+Теперь применим теорему Остроградского-Гаусса:
+
+$$\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\iiint_{V}3\,dV=3\iiint_{V}\,dV=3\cdot1=3.$$
+
+Таким образом, объем области $V$ равен $1$.