3.6 KiB
Формула Остроградского-Гаусса
Формулировка теоремы Остроградского-Гаусса
Пусть V — область в трёхмерном пространстве, ограниченная замкнутой поверхностью S, и пусть \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определённое на V и S. Тогда:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\oiint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,
где \nabla\cdot\mathbf{F} — дивергенция векторного поля \mathbf{F}, а \mathbf{n} — единичный вектор внешней нормали к поверхности S.
Доказательство теоремы Остроградского-Гаусса
Доказательство теоремы Остроградского-Гаусса основано на применении теоремы Стокса и свойств дивергенции векторного поля. Мы не будем приводить полное доказательство, но отметим, что оно включает использование теоремы о потоке векторного поля через замкнутую поверхность и теоремы о циркуляции векторного поля.
Применение теоремы Остроградского-Гаусса
Теорема Остроградского-Гаусса имеет множество приложений в физике и математике. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1: Вычисление потока векторного поля
Рассмотрим векторное поле \mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} и область V, ограниченную сферой радиуса R, центрированной в начале координат. Поверхность S — это сфера радиуса R.
Сначала вычислим дивергенцию векторного поля:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3.
Теперь применим теорему Остроградского-Гаусса:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\iiint_{V}3\,dV=3\iiint_{V}\,dV=3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3.
Таким образом, поток векторного поля через поверхность S равен 4\pi R^3.
Пример 2: Вычисление объема области
Рассмотрим векторное поле \mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} и область V, ограниченную кубом с вершинами (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,0,1), (1,1,1), (0,1,1). Поверхность S — это грани куба.
Сначала вычислим дивергенцию векторного поля:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3.
Теперь применим теорему Остроградского-Гаусса:
\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\iiint_{V}3\,dV=3\iiint_{V}\,dV=3\cdot1=3.
Таким образом, объем области V равен 1.