From 3c00f5f0b50ce9f9946778df5680774e2d1005a0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Kirill Date: Sat, 14 Dec 2024 00:43:00 +0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=D0=94=D0=BE=D0=B1=D0=B0=D0=B2=D0=BB=D0=B5?= =?UTF-8?q?=D0=BD=202=20=D0=B1=D0=BB=D0=BE=D0=BA=20=D0=B1=D0=B8=D0=BB?= =?UTF-8?q?=D0=B5=D1=82=D0=BE=D0=B2=20=D0=BF=D0=BE=20=D0=BC=D0=B0=D1=82=20?= =?UTF-8?q?=D0=B0=D0=BD=D0=B0=D0=BB=D0=B8=D0=B7=D1=83?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md | 57 +++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md | 49 +++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26.md | 44 +++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/27.md | 63 +++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/28.md | 61 +++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/29.md | 57 +++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/30.md | 101 +++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/31.md | 84 ++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/32.md | 71 +++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/33.md | 60 +++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/34.md | 83 ++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/35.md | 54 ++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/36.md | 38 ++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/37.md | 61 +++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/38.md | 93 ++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/39.md | 63 +++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/40.md | 120 ++++++++++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41.md | 64 ++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42.md | 45 +++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43.md | 57 +++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44.md | 73 +++++++++++ 2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md | 4 +- 22 files changed, 1400 insertions(+), 2 deletions(-) create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/27.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/28.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/29.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/30.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/31.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/32.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/33.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/34.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/35.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/36.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/37.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/38.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/39.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/40.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43.md create mode 100644 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44.md diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md new file mode 100644 index 0000000..51ed6c2 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24.md @@ -0,0 +1,57 @@ +## Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования. + +### Определение двойного интеграла + +Двойной интеграл функции двух переменных $f(x, y)$ по области $D$ на плоскости $xy$ определяется как предел суммы Римана при стремлении диаметров подобластей к нулю. Формально, если $D$ разбита на $n$ подобластей $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, то двойной интеграл определяется как: + +$$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \lim_{\delta_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i,$$ + +где $(x_i, y_i)$ — произвольная точка в подобласти $D_i$, а $\Delta A_i$ — площадь подобласти $D_i$. + +### Свойства двойного интеграла + +1. **Линейность**: + - Если $f(x, y)$ и $g(x, y)$ интегрируемы на $D$, то для любых констант $a$ и $b$: + + $$\iint_{D} (a f(x, y) + b g(x, y)) \, dA = a \iint_{D} f(x, y) \, dA + b \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$ + +2. **Аддитивность**: + - Если $D$ разбита на две непересекающиеся области $D_1$ и $D_2$, то: + + $$\iint_{D} f(x, y) \, dA = \iint_{D_1} f(x, y) \, dA + \iint_{D_2} f(x, y) \, dA.$$ + +3. **Монотонность**: + - Если $f(x, y) \geq g(x, y)$ для всех $(x, y)$ в $D$, то: + + $$\iint_{D} f(x, y) \, dA \geq \iint_{D} g(x, y) \, dA.$$ + +4. **Абсолютная интегрируемость**: + - Если $f(x, y)$ интегрируема на $D$, то и $|f(x, y)|$ также интегрируема на $D$, причем: + + $$\left| \iint_{D} f(x, y) \, dA \right| \leq \iint_{D} |f(x, y)| \, dA.$$ + +### Теорема существования двойного интеграла + +Теорема существования двойного интеграла утверждает, что если функция $f(x, y)$ непрерывна на замкнутой и ограниченной области $D$, то двойной интеграл $\iint_{D} f(x, y) \, dA$ существует. + +Формально, если $f(x, y)$ непрерывна на $D$, то для любого разбиения области $D$ на подобласти $D_i$ с диаметрами $\delta_i$, сумма Римана: + +$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i, y_i) \Delta A_i$$ + +имеет предел при $\delta_i \to 0$, и этот предел не зависит от выбора точек $(x_i, y_i)$ в подобластях $D_i$. + +### Пример + +Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла. Пусть $f(x, y) = x^2 y$ и область $D$ ограничена прямоугольником с вершинами $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,2)$, $(0,2)$. Тогда двойной интеграл можно вычислить как: + +$$\iint_{D} x^2 y \, dA = \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x^2 y \, dx \, dy.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{1} x^2 y \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} y \right]_{0}^{1} = \frac{y}{3}.$$ + +Теперь вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2} \frac{y}{3} \, dy = \left[ \frac{y^2}{6} \right]_{0}^{2} = \frac{4}{3}.$$ + +Таким образом, значение двойного интеграла равно $\frac{4}{3}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md new file mode 100644 index 0000000..1d31490 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25.md @@ -0,0 +1,49 @@ +## Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла + +### 1. Вычисление площади области + +Одной из основных задач, приводящих к понятию двойного интеграла, является вычисление площади области $D$ на плоскости $xy$. Если область $D$ ограничена кривыми $y=f(x)$ и $y=g(x)$ на интервале $[a,b]$, то площадь этой области можно вычислить с помощью двойного интеграла: + +$$A=\iint_{D}dA=\int_{a}^{b}\int_{g(x)}^{f(x)}dy\,dx.$$ + +### 2. Вычисление объема тела + +Двойной интеграл также используется для вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=f(x,y)$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$. Если $D$ — область на плоскости $xy$, то объем тела можно вычислить как: + +$$V=\iint_{D}f(x,y)\,dA.$$ + +### 3. Вычисление массы пластины + +Если плотность пластины $\rho(x,y)$ задана как функция координат $(x,y)$, то масса пластины, занимающей область $D$, можно вычислить с помощью двойного интеграла: + +$$M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA.$$ + +### 4. Вычисление центра масс пластины + +Центр масс пластины с плотностью $\rho(x,y)$ и областью $D$ можно найти, используя двойные интегралы. Координаты центра масс $(x_c,y_c)$ определяются как: + +$$x_c=\frac{\iint_{D}x\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA},$$ + +$$y_c=\frac{\iint_{D}y\rho(x,y)\,dA}{\iint_{D}\rho(x,y)\,dA}.$$ + +### 5. Вычисление моментов инерции + +Моменты инерции пластины относительно осей $x$ и $y$ также можно вычислить с помощью двойных интегралов. Моменты инерции $I_x$ и $I_y$ определяются как: + +$$I_x=\iint_{D}y^2\rho(x,y)\,dA,$$ + +### Пример + +Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z=x^2+y^2$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$ в пределах круга радиуса 1. Область $D$ — это круг радиуса 1, центрированный в начале координат. В полярных координатах $(r,\theta)$ область $D$ описывается как $0\leq r\leq1$ и $0\leq\theta\leq2\pi$. Тогда объем тела можно вычислить как: + +$$V=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}r^2r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{1}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}.$$ + +Теперь вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{4}\,d\theta=\frac{1}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi}{2}.$$ + +Таким образом, объем тела равен $\frac{\pi}{2}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26.md new file mode 100644 index 0000000..62cd91c --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26.md @@ -0,0 +1,44 @@ +## Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах: сведение двойного интеграла к повторному +### Определение двойного интеграла + +Двойной интеграл функции $f(x, y)$ по области $D$ определяется как: + +$$\iint_{D}f(x,y)\,dA.$$ + +### Сведение двойного интеграла к повторному + +Для вычисления двойного интеграла часто удобно свести его к повторному интегралу. Рассмотрим область $D$, ограниченную кривыми $y=g_1(x)$ и $y=g_2(x)$ на интервале $[a,b]$. Тогда двойной интеграл можно представить в виде повторного интеграла: + +$$\iint_{D}f(x,y)\,dA=\int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f(x,y)\,dy\,dx.$$ + +### Пример 1: Прямоугольная область + +Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла функции $f(x, y) = x^2 y$ по прямоугольной области $D$, ограниченной линиями $x = 0$, $x = 1$, $y = 0$ и $y = 2$. В этом случае двойной интеграл можно свести к повторному интегралу: + +$$\iint_{D}x^2y\,dA=\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}x^2y\,dy\,dx.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{2}x^2y\,dy=\left[\frac{x^2y^2}{2}\right]_{0}^{2}=\frac{4x^2}{2}=2x^2.$$ + +Теперь вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{1}2x^2\,dx=\left[\frac{2x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}.$$ + +Таким образом, значение двойного интеграла равно $\frac{2}{3}$. + +### Пример 2: Область, ограниченная кривыми + +Рассмотрим область $D$, ограниченную кривыми $y = x$ и $y = x^2$ на интервале $[0, 1]$. Функция $f(x, y) = xy$. Двойной интеграл можно свести к повторному интегралу: + +$$\iint_{D}xy\,dA=\int_{0}^{1}\int_{x^2}^{x}xy\,dy\,dx.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{x^2}^{x}xy\,dy=\left[\frac{xy^2}{2}\right]_{x^2}^{x}=\frac{x^3}{2}-\frac{x^5}{2}.$$ + +Теперь вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{1}\left(\frac{x^3}{2}-\frac{x^5}{2}\right)\,dx=\left[\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{12}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{8}-\frac{1}{12}=\frac{1}{24}.$$ + +Таким образом, значение двойного интеграла равно $\frac{1}{24}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/27.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/27.md new file mode 100644 index 0000000..288a8c5 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/27.md @@ -0,0 +1,63 @@ +## Криволинейные координаты на плоскости. Выражение площади в криволинейных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах. + +### Введение + +Криволинейные координаты на плоскости позволяют упростить вычисление двойных интегралов для областей, которые сложно описать в декартовых координатах. В этом билете мы рассмотрим основные понятия криволинейных координат, выражение площади в этих координатах, замену переменных в двойном интеграле и вычисление двойного интеграла в полярных координатах. + +### Криволинейные координаты на плоскости + +Криволинейные координаты $(u, v)$ на плоскости определяются через декартовы координаты $(x, y)$ с помощью преобразования: + +$$x=x(u,v),$$ +$$y=y(u,v).$$ + +Эти преобразования должны быть взаимно однозначными и непрерывно дифференцируемыми в области $D$. + +### Выражение площади в криволинейных координатах + +Площадь элементарной области в криволинейных координатах $(u, v)$ выражается через якобиан преобразования: + +$$dA=|J|\,du\,dv,$$ + +где якобиан $J$ определяется как: + +$$J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}.$$ + +### Замена переменных в двойном интеграле + +Для замены переменных в двойном интеграле используется якобиан преобразования. Если $f(x, y)$ — функция, определенная на области $D$ в декартовых координатах, то двойной интеграл в криволинейных координатах $(u, v)$ выражается как: + +$$\iint_{D}f(x,y)\,dA=\iint_{D'}f(x(u,v),y(u,v))|J|\,du\,dv,$$ + +где $D'$ — область в координатах $(u, v)$, соответствующая области $D$ в координатах $(x, y)$. + +### Полярные координаты + +Полярные координаты $(r, \theta)$ являются частным случаем криволинейных координат и определяются следующим образом: + +$$x=r\cos\theta,$$ +$$y=r\sin\theta.$$ + +Якобиан преобразования для полярных координат равен: + +$$J=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}=r.$$ + +Таким образом, площадь элементарной области в полярных координатах выражается как: + +$$dA=r\,dr\,d\theta.$$ + +### Вычисление двойного интеграла в полярных координатах + +Рассмотрим пример вычисления двойного интеграла функции $f(x, y) = x^2 + y^2$ по кругу радиуса $R$, центрированного в начале координат. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда двойной интеграл можно вычислить как: + +$$\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^2r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{R}=\frac{R^4}{4}.$$ + +Теперь вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{R^4}{4}\,d\theta=\frac{R^4}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi R^4}{2}.$$ + +Таким образом, значение двойного интеграла равно $\frac{\pi R^4}{2}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/28.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/28.md new file mode 100644 index 0000000..e9091d6 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/28.md @@ -0,0 +1,61 @@ +## Тройной интеграл, определение и свойства. Теорема существования. + +### Определение тройного интеграла + +Тройной интеграл функции трех переменных $f(x, y, z)$ по области $V$ в пространстве определяется как предел суммы Римана при стремлении диаметров подобластей к нулю. Формально, если $V$ разбита на $n$ подобластей $V_i$ с диаметрами $\delta_i$, то тройной интеграл определяется как: + +$$\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV=\lim_{\delta_i\to0}\sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i,$$ + +где $(x_i, y_i, z_i)$ — произвольная точка в подобласти $V_i$, а $\Delta V_i$ — объем подобласти $V_i$. + +### Свойства тройного интеграла + +1. **Линейность**: + - Если $f(x, y, z)$ и $g(x, y, z)$ интегрируемы на $V$, то для любых констант $a$ и $b$: + + $$\iiint_{V}(af(x,y,z)+bg(x,y,z))\,dV=a\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV+b\iiint_{V}g(x,y,z)\,dV.$$ + +2. **Аддитивность**: + - Если $V$ разбита на две непересекающиеся области $V_1$ и $V_2$, то: + + $$\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV=\iiint_{V_1}f(x,y,z)\,dV+\iiint_{V_2}f(x,y,z)\,dV.$$ + +3. **Монотонность**: + - Если $f(x, y, z) \geq g(x, y, z)$ для всех $(x, y, z)$ в $V$, то: + + $$\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV\geq\iiint_{V}g(x,y,z)\,dV.$$ + +4. **Абсолютная интегрируемость**: + - Если $f(x, y, z)$ интегрируема на $V$, то и $|f(x, y, z)|$ также интегрируема на $V$, причем: + + $$\left|\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV\right|\leq\iiint_{V}|f(x,y,z)|\,dV.$$ + +### Теорема существования тройного интеграла + +Теорема существования тройного интеграла утверждает, что если функция $f(x, y, z)$ непрерывна на замкнутой и ограниченной области $V$, то тройной интеграл $\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV$ существует. + +Формально, если $f(x, y, z)$ непрерывна на $V$, то для любого разбиения области $V$ на подобласти $V_i$ с диаметрами $\delta_i$, сумма Римана: + +$$\sum_{i=1}^{n}f(x_i,y_i,z_i)\Delta V_i$$ + +имеет предел при $\delta_i\to0$, и этот предел не зависит от выбора точек $(x_i, y_i, z_i)$ в подобластях $V_i$. + +### Пример + +Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла. Пусть $f(x, y, z) = xyz$ и область $V$ — это куб с вершинами $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(1,1,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,1)$, $(0,1,1)$. Тогда тройной интеграл можно вычислить как: + +$$\iiint_{V}xyz\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xyz\,dz\,dy\,dx.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{1}xyz\,dz=\left[\frac{xyz^2}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{xy}{2}.$$ + +Теперь вычислим следующий интеграл: + +$$\int_{0}^{1}\frac{xy}{2}\,dy=\left[\frac{xy^2}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{x}{4}.$$ + +И, наконец, вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{1}\frac{x}{4}\,dx=\left[\frac{x^2}{8}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{8}.$$ + +Таким образом, значение тройного интеграла равно $\frac{1}{8}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/29.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/29.md new file mode 100644 index 0000000..178417b --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/29.md @@ -0,0 +1,57 @@ +## Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах + +### Определение тройного интеграла + +Тройной интеграл функции $f(x, y, z)$ по области $V$ определяется как: + +$$\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV.$$ + +### Сведение тройного интеграла к повторному + +Для вычисления тройного интеграла часто удобно свести его к повторному интегралу. Рассмотрим область $V$, ограниченную поверхностями $z=g_1(x,y)$ и $z=g_2(x,y)$ над областью $D$ на плоскости $xy$. Тогда тройной интеграл можно представить в виде повторного интеграла: + +$$\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV=\iint_{D}\left(\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)}f(x,y,z)\,dz\right)\,dA.$$ + +### Пример 1: Прямоугольный параллелепипед + +Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла функции $f(x, y, z) = xyz$ по прямоугольному параллелепипеду, ограниченному плоскостями $x = 0$, $x = 1$, $y = 0$, $y = 1$, $z = 0$ и $z = 1$. В этом случае тройной интеграл можно свести к повторному интегралу: + +$$\iiint_{V}xyz\,dV=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}xyz\,dz\,dy\,dx.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{1}xyz\,dz=\left[\frac{xyz^2}{2}\right]_{0}^{1}=\frac{xy}{2}.$$ + +Теперь вычислим следующий интеграл: + +$$\int_{0}^{1}\frac{xy}{2}\,dy=\left[\frac{xy^2}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{x}{4}.$$ + +И, наконец, вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{1}\frac{x}{4}\,dx=\left[\frac{x^2}{8}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{8}.$$ + +Таким образом, значение тройного интеграла равно $\frac{1}{8}$. + +### Пример 2: Область, ограниченная поверхностями + +Рассмотрим область $V$, ограниченную поверхностями $z = x^2 + y^2$ и $z = 1$ над кругом радиуса 1 на плоскости $xy$. Функция $f(x, y, z) = z$. Тройной интеграл можно свести к повторному интегралу: + +$$\iiint_{V}z\,dV=\iint_{D}\left(\int_{x^2+y^2}^{1}z\,dz\right)\,dA.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{x^2+y^2}^{1}z\,dz=\left[\frac{z^2}{2}\right]_{x^2+y^2}^{1}=\frac{1}{2}-\frac{(x^2+y^2)^2}{2}.$$ + +Теперь вычислим двойной интеграл в полярных координатах $(r, \theta)$, где $x = r\cos\theta$ и $y = r\sin\theta$: + +$$\iint_{D}\left(\frac{1}{2}-\frac{(x^2+y^2)^2}{2}\right)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}-\frac{r^4}{2}\right)r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2}-\frac{r^4}{2}\right)r\,dr=\int_{0}^{1}\left(\frac{r}{2}-\frac{r^5}{2}\right)\,dr=\left[\frac{r^2}{4}-\frac{r^6}{12}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{4}-\frac{1}{12}=\frac{1}{6}.$$ + +Теперь вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{6}\,d\theta=\frac{1}{6}\cdot2\pi=\frac{\pi}{3}.$$ + +Таким образом, значение тройного интеграла равно $\frac{\pi}{3}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/30.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/30.md new file mode 100644 index 0000000..7d9dd2a --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/30.md @@ -0,0 +1,101 @@ +## Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах. + +### Криволинейные координаты в пространстве + +Криволинейные координаты $(u, v, w)$ в пространстве определяются через декартовы координаты $(x, y, z)$ с помощью преобразования: + +$$x=x(u,v,w),$$ +$$y=y(u,v,w),$$ +$$z=z(u,v,w).$$ + +Эти преобразования должны быть взаимно однозначными и непрерывно дифференцируемыми в области $V$. + +### Выражение объема в криволинейных координатах + +Объем элементарной области в криволинейных координатах $(u, v, w)$ выражается через якобиан преобразования: + +$$dV=|J|\,du\,dv\,dw,$$ + +где якобиан $J$ определяется как: + +$$J=\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\\frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w}\end{vmatrix}.$$ + +### Замена переменных в тройном интеграле + +Для замены переменных в тройном интеграле используется якобиан преобразования. Если $f(x, y, z)$ — функция, определенная на области $V$ в декартовых координатах, то тройной интеграл в криволинейных координатах $(u, v, w)$ выражается как: + +$$\iiint_{V}f(x,y,z)\,dV=\iiint_{V'}f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|J|\,du\,dv\,dw,$$ + +где $V'$ — область в координатах $(u, v, w)$, соответствующая области $V$ в координатах $(x, y, z)$. + +### Цилиндрические координаты + +Цилиндрические координаты $(r, \theta, z)$ определяются следующим образом: + +$$x=r\cos\theta,$$ +$$y=r\sin\theta,$$ +$$z=z.$$ + +Якобиан преобразования для цилиндрических координат равен: + +$$J=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta&0\\\sin\theta&r\cos\theta&0\\0&0&1\end{vmatrix}=r.$$ + +Таким образом, объем элементарной области в цилиндрических координатах выражается как: + +$$dV=r\,dr\,d\theta\,dz.$$ + +### Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах + +Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла функции $f(x, y, z) = x^2 + y^2$ по цилиндру радиуса $R$ и высоты $h$, центрированного в начале координат. В цилиндрических координатах $(r, \theta, z)$ область $V$ описывается как $0 \leq r \leq R$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ и $0 \leq z \leq h$. Тогда тройной интеграл можно вычислить как: + +$$\iiint_{V}(x^2+y^2)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\int_{0}^{h}r^2r\,dz\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{h}r^3\,dz=r^3h.$$ + +Теперь вычислим следующий интеграл: + +$$\int_{0}^{R}r^3h\,dr=\left[\frac{r^4h}{4}\right]_{0}^{R}=\frac{R^4h}{4}.$$ + +И, наконец, вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{R^4h}{4}\,d\theta=\frac{R^4h}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi R^4h}{2}.$$ + +Таким образом, значение тройного интеграла равно $\frac{\pi R^4h}{2}$. + +### Сферические координаты + +Сферические координаты $(\rho, \theta, \phi)$ определяются следующим образом: + +$$x=\rho\sin\phi\cos\theta,$$ +$$y=\rho\sin\phi\sin\theta,$$ +$$z=\rho\cos\phi.$$ + +Якобиан преобразования для сферических координат равен: + +$$J=\begin{vmatrix}\sin\phi\cos\theta&\rho\cos\phi\cos\theta&-\rho\sin\phi\sin\theta\\\sin\phi\sin\theta&\rho\cos\phi\sin\theta&\rho\sin\phi\cos\theta\\\cos\phi&-\rho\sin\phi&0\end{vmatrix}=\rho^2\sin\phi.$$ + +Таким образом, объем элементарной области в сферических координатах выражается как: + +$$dV=\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\theta\,d\phi.$$ + +### Вычисление тройного интеграла в сферических координатах + +Рассмотрим пример вычисления тройного интеграла функции $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ по шару радиуса $R$, центрированного в начале координат. В сферических координатах $(\rho, \theta, \phi)$ область $V$ описывается как $0 \leq \rho \leq R$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ и $0 \leq \phi \leq \pi$. Тогда тройной интеграл можно вычислить как: + +$$\iiint_{V}(x^2+y^2+z^2)\,dV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{R}\rho^2\rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\phi\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}\rho^4\sin\phi\,d\rho=\left[\frac{\rho^5\sin\phi}{5}\right]_{0}^{R}=\frac{R^5\sin\phi}{5}.$$ + +Теперь вычислим следующий интеграл: + +$$\int_{0}^{\pi}\frac{R^5\sin\phi}{5}\,d\phi=\frac{R^5}{5}\left[-\cos\phi\right]_{0}^{\pi}=\frac{2R^5}{5}.$$ + +И, наконец, вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{2R^5}{5}\,d\theta=\frac{2R^5}{5}\cdot2\pi=\frac{4\pi R^5}{5}.$$ + +Таким образом, значение тройного интеграла равно $\frac{4\pi R^5}{5}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/31.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/31.md new file mode 100644 index 0000000..34225ac --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/31.md @@ -0,0 +1,84 @@ +## Геометрические приложения двойных и тройных интегралов: вычисление площади плоской фигуры, вычисление объемов тел, вычисление площади поверхности. + +### Вычисление площади плоской фигуры + +Площадь плоской фигуры $D$ на плоскости $xy$ можно вычислить с помощью двойного интеграла. Если функция $f(x, y) = 1$, то площадь фигуры $D$ определяется как: + +$$A=\iint_{D}dA=\iint_{D}dx\,dy.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления площади круга радиуса $R$, центрированного в начале координат. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда площадь круга можно вычислить как: + +$$A=\iint_{D}dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}r\,dr=\left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{R}=\frac{R^2}{2}.$$ + +Теперь вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{R^2}{2}\,d\theta=\frac{R^2}{2}\cdot2\pi=\pi R^2.$$ + +Таким образом, площадь круга равна $\pi R^2$. + +### Вычисление объемов тел + +Объем тела $V$, ограниченного поверхностью $z = f(x, y)$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$, можно вычислить с помощью тройного интеграла. Если $D$ — область на плоскости $xy$, то объем тела определяется как: + +$$V=\iiint_{V}dV=\iint_{D}f(x,y)\,dA.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления объема тела, ограниченного поверхностью $z = x^2 + y^2$ и проекцией этой поверхности на плоскость $xy$ в пределах круга радиуса $R$, центрированного в начале координат. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда объем тела можно вычислить как: + +$$V=\iint_{D}(x^2+y^2)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^2r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}r^3\,dr=\left[\frac{r^4}{4}\right]_{0}^{R}=\frac{R^4}{4}.$$ + +Теперь вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{R^4}{4}\,d\theta=\frac{R^4}{4}\cdot2\pi=\frac{\pi R^4}{2}.$$ + +Таким образом, объем тела равен $\frac{\pi R^4}{2}$. + +### Вычисление площади поверхности + +Площадь поверхности $S$, заданной уравнением $z = f(x, y)$ над областью $D$ на плоскости $xy$, можно вычислить с помощью двойного интеграла. Площадь элементарной области поверхности выражается через коэффициенты частных производных функции $f(x, y)$: + +$$dS=\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dA.$$ + +Таким образом, площадь поверхности определяется как: + +$$S=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2}\,dA.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления площади поверхности, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда площадь поверхности можно вычислить как: + +$$S=\iint_{D}\sqrt{1+\left(\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial y}\right)^2}\,dA.$$ + +Вычислим частные производные: + +$$\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial x}=2x,$$ +$$\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial y}=2y.$$ + +Теперь подставим их в формулу для площади поверхности: + +$$S=\iint_{D}\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr.$$ + +Для вычисления этого интеграла используем замену переменных $u = 1 + 4r^2$, тогда $du = 8r\,dr$ и $r = 0$ соответствует $u = 1$, а $r = R$ соответствует $u = 1 + 4R^2$. Тогда интеграл принимает вид: + +$$\int_{1}^{1+4R^2}\frac{1}{8}\sqrt{u}\,du=\frac{1}{8}\left[\frac{2u^{3/2}}{3}\right]_{1}^{1+4R^2}=\frac{1}{12}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right).$$ + +Теперь вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{12}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right)\,d\theta=\frac{1}{12}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right)\cdot2\pi=\frac{\pi}{6}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right).$$ + +Таким образом, площадь поверхности равна $\frac{\pi}{6}\left((1+4R^2)^{3/2}-1\right)$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/32.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/32.md new file mode 100644 index 0000000..7a5c08e --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/32.md @@ -0,0 +1,71 @@ +## Физические приложения двойных и тройных интегралов: вычисление массы, координат центра тяжести, статических моментов тела в пространстве и плоской пластинки, моментов инерции тела в пространстве. + +### Вычисление массы + +Масса тела $V$ с плотностью $\rho(x, y, z)$ можно вычислить с помощью тройного интеграла: + +$$M=\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления массы тела, заданного уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат, с плотностью $\rho(x, y, z) = z$. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда масса тела можно вычислить как: + +$$M=\iiint_{V}z\,dV=\iint_{D}\left(\int_{0}^{x^2+y^2}z\,dz\right)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\left(\int_{0}^{r^2}z\,dz\right)r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{r^2}z\,dz=\left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{r^2}=\frac{r^4}{2}.$$ + +Теперь вычислим следующий интеграл: + +$$\int_{0}^{R}\frac{r^4}{2}r\,dr=\left[\frac{r^6}{12}\right]_{0}^{R}=\frac{R^6}{12}.$$ + +И, наконец, вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{R^6}{12}\,d\theta=\frac{R^6}{12}\cdot2\pi=\frac{\pi R^6}{6}.$$ + +Таким образом, масса тела равна $\frac{\pi R^6}{6}$. + +### Вычисление координат центра тяжести + +Координаты центра тяжести тела $V$ с плотностью $\rho(x, y, z)$ можно вычислить с помощью тройных интегралов: + +$$x_c=\frac{\iiint_{V}x\rho(x,y,z)\,dV}{\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV},$$ +$$y_c=\frac{\iiint_{V}y\rho(x,y,z)\,dV}{\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV},$$ +$$z_c=\frac{\iiint_{V}z\rho(x,y,z)\,dV}{\iiint_{V}\rho(x,y,z)\,dV}.$$ + +### Вычисление статических моментов + +Статические моменты тела $V$ относительно плоскостей $xy$, $xz$ и $yz$ можно вычислить с помощью тройных интегралов: + +$$M_{xy}=\iiint_{V}z\rho(x,y,z)\,dV,$$ +$$M_{xz}=\iiint_{V}y\rho(x,y,z)\,dV,$$ +$$M_{yz}=\iiint_{V}x\rho(x,y,z)\,dV.$$ + +### Вычисление моментов инерции + +Моменты инерции тела $V$ относительно осей $x$, $y$ и $z$ можно вычислить с помощью тройных интегралов: + +$$I_x=\iiint_{V}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dV,$$ +$$I_y=\iiint_{V}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dV,$$ +$$I_z=\iiint_{V}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dV.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления момента инерции тела, заданного уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат, с плотностью $\rho(x, y, z) = 1$. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда момент инерции относительно оси $z$ можно вычислить как: + +$$I_z=\iiint_{V}(x^2+y^2)\,dV=\iint_{D}\left(\int_{0}^{x^2+y^2}(x^2+y^2)\,dz\right)\,dA=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\left(\int_{0}^{r^2}r^2\,dz\right)r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{r^2}r^2\,dz=r^2\left[z\right]_{0}^{r^2}=r^4.$$ + +Теперь вычислим следующий интеграл: + +$$\int_{0}^{R}r^4r\,dr=\left[\frac{r^6}{6}\right]_{0}^{R}=\frac{R^6}{6}.$$ + +И, наконец, вычислим внешний интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\frac{R^6}{6}\,d\theta=\frac{R^6}{6}\cdot2\pi=\frac{\pi R^6}{3}.$$ + +Таким образом, момент инерции тела относительно оси $z$ равен $\frac{\pi R^6}{3}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/33.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/33.md new file mode 100644 index 0000000..139d7fe --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/33.md @@ -0,0 +1,60 @@ +## Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода. Криволинейные интегралы первого рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление криволинейного интеграла первого рода. + +### Задача, приводящая к понятию криволинейного интеграла первого рода + +Рассмотрим задачу вычисления массы проволоки, имеющей переменную линейную плотность $\rho(x, y, z)$, заданную как функция координат $(x, y, z)$. Если проволока имеет форму кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t))$ для $t \in [a, b]$, то масса проволоки можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: + +$$M=\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds,$$ + +где $ds$ — элемент длины дуги кривой $C$. + +### Определение криволинейного интеграла первого рода + +Криволинейный интеграл первого рода функции $f(x, y, z)$ по кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t))$ для $t \in [a, b]$, определяется как: + +$$\int_{C}f(x,y,z)\,ds=\int_{a}^{b}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt.$$ + +### Теорема существования криволинейного интеграла первого рода + +Теорема существования криволинейного интеграла первого рода утверждает, что если функция $f(x, y, z)$ непрерывна на кривой $C$, то криволинейный интеграл $\int_{C}f(x,y,z)\,ds$ существует. + +### Свойства криволинейных интегралов первого рода + +1. **Линейность**: + - Если $f(x, y, z)$ и $g(x, y, z)$ интегрируемы на кривой $C$, то для любых констант $a$ и $b$: + + $$\int_{C}(af(x,y,z)+bg(x,y,z))\,ds=a\int_{C}f(x,y,z)\,ds+b\int_{C}g(x,y,z)\,ds.$$ + +2. **Аддитивность**: + - Если кривая $C$ состоит из двух частей $C_1$ и $C_2$, то: + + $$\int_{C}f(x,y,z)\,ds=\int_{C_1}f(x,y,z)\,ds+\int_{C_2}f(x,y,z)\,ds.$$ + +3. **Монотонность**: + - Если $f(x, y, z) \geq g(x, y, z)$ для всех $(x, y, z)$ на кривой $C$, то: + + $$\int_{C}f(x,y,z)\,ds\geq\int_{C}g(x,y,z)\,ds.$$ + +### Вычисление криволинейного интеграла первого рода + +Рассмотрим пример вычисления криволинейного интеграла первого рода функции $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ по кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$. + +Сначала вычислим производные: + +$$\frac{dx}{dt}=1,$$ +$$\frac{dy}{dt}=2t,$$ +$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$ + +Теперь вычислим элемент длины дуги: + +$$ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt=\sqrt{1+(2t)^2+(3t^2)^2}\,dt=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$ + +Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла: + +$$\int_{C}(x^2+y^2+z^2)\,ds=\int_{0}^{1}(t^2+(t^2)^2+(t^3)^2)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$ + +Вычислим интеграл: + +$$\int_{0}^{1}(t^2+t^4+t^6)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/34.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/34.md new file mode 100644 index 0000000..a2db284 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/34.md @@ -0,0 +1,83 @@ +## Приложения криволинейных интегралов первого рода + +### Вычисление длины кривой + +Длина кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t))$ для $t \in [a, b]$, можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: + +$$L=\int_{C}ds=\int_{a}^{b}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления длины кривой, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$. Сначала вычислим производные: + +$$\frac{dx}{dt}=1,$$ +$$\frac{dy}{dt}=2t,$$ +$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$ + +Теперь вычислим элемент длины дуги: + +$$ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\,dt=\sqrt{1+(2t)^2+(3t^2)^2}\,dt=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$ + +Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла: + +$$L=\int_{0}^{1}\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. + +### Вычисление массы проволоки + +Масса проволоки, имеющей переменную линейную плотность $\rho(x, y, z)$, заданную как функция координат $(x, y, z)$, можно вычислить с помощью криволинейного интеграла первого рода: + +$$M=\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления массы проволоки, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$ с линейной плотностью $\rho(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$. Сначала вычислим производные: + +$$\frac{dx}{dt}=1,$$ +$$\frac{dy}{dt}=2t,$$ +$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$ + +Теперь вычислим элемент длины дуги: + +$$ds=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$ + +Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла: + +$$M=\int_{0}^{1}(t^2+(t^2)^2+(t^3)^2)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. + +### Вычисление центра масс + +Координаты центра масс проволоки, имеющей переменную линейную плотность $\rho(x, y, z)$, можно вычислить с помощью криволинейных интегралов первого рода: + +$$x_c=\frac{\int_{C}x\rho(x,y,z)\,ds}{\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds},$$ +$$y_c=\frac{\int_{C}y\rho(x,y,z)\,ds}{\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds},$$ +$$z_c=\frac{\int_{C}z\rho(x,y,z)\,ds}{\int_{C}\rho(x,y,z)\,ds}.$$ + +### Вычисление моментов инерции + +Моменты инерции проволоки относительно осей $x$, $y$ и $z$ можно вычислить с помощью криволинейных интегралов первого рода: + +$$I_x=\int_{C}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,ds,$$ +$$I_y=\int_{C}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,ds,$$ +$$I_z=\int_{C}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,ds.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления момента инерции проволоки, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$ с линейной плотностью $\rho(x, y, z) = 1$. Сначала вычислим производные: + +$$\frac{dx}{dt}=1,$$ +$$\frac{dy}{dt}=2t,$$ +$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$ + +Теперь вычислим элемент длины дуги: + +$$ds=\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$ + +Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла для момента инерции относительно оси $z$: + +$$I_z=\int_{0}^{1}(t^2+(t^2)^2)\sqrt{1+4t^2+9t^4}\,dt.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/35.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/35.md new file mode 100644 index 0000000..ba2af61 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/35.md @@ -0,0 +1,54 @@ +## Криволинейные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление криволинейного интеграла второго рода. + +### Определение криволинейного интеграла второго рода + +Криволинейный интеграл второго рода векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ по кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t))$ для $t \in [a, b]$, определяется как: + +$$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz,$$ + +где $d\mathbf{r} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right)dt$ — вектор элементарного смещения вдоль кривой $C$. + +### Теорема существования криволинейного интеграла второго рода + +Теорема существования криволинейного интеграла второго рода утверждает, что если компоненты векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z)$ непрерывны на кривой $C$, то криволинейный интеграл $\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ существует. + +### Свойства криволинейных интегралов второго рода + +1. **Линейность**: + - Если $\mathbf{F}$ и $\mathbf{G}$ — векторные поля, интегрируемые по кривой $C$, то для любых констант $a$ и $b$: + + $$\int_{C}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})\cdot d\mathbf{r}=a\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}+b\int_{C}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{r}.$$ + +2. **Аддитивность**: + - Если кривая $C$ состоит из двух частей $C_1$ и $C_2$, то: + + $$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}+\int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$ + +3. **Обращение направления**: + - Если кривая $C$ проходит в обратном направлении, то: + + $$\int_{-C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=-\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$ + +### Вычисление криволинейного интеграла второго рода + +Рассмотрим пример вычисления криволинейного интеграла второго рода векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ по кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$. + +Сначала вычислим производные: + +$$\frac{dx}{dt}=1,$$ +$$\frac{dy}{dt}=2t,$$ +$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$ + +Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла второго рода: + +$$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{0}^{1}(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})\,dt=\int_{0}^{1}(t^2\cdot1+t\cdot2t+t^3\cdot3t^2)\,dt.$$ + +Упростим интеграл: + +$$\int_{0}^{1}(t^2+2t^2+3t^5)\,dt=\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt.$$ + +Теперь вычислим интеграл: + +$$\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt=\left[t^3+\frac{t^6}{2}\right]_{0}^{1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$ + +Таким образом, значение криволинейного интеграла второго рода равно $\frac{3}{2}$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/36.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/36.md new file mode 100644 index 0000000..670fe36 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/36.md @@ -0,0 +1,38 @@ +## Формула Грина. Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла. + +### Формула Грина + +Формула Грина утверждает, что для гладкой замкнутой кривой $C$, ограничивающей область $D$ на плоскости $xy$, и для непрерывно дифференцируемых функций $P(x, y)$ и $Q(x, y)$, определённых на $D$, выполняется равенство: + +$$\oint_{C}(P\,dx+Q\,dy)=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.$$ + +### Доказательство формулы Грина + +Доказательство формулы Грина основано на теореме о потоке векторного поля через замкнутую кривую и теореме о циркуляции векторного поля. Мы не будем приводить полное доказательство, но отметим, что оно включает использование теоремы Стокса и свойств дифференцируемых функций. + +### Вычисление площади плоской фигуры с помощью криволинейного интеграла + +Для вычисления площади плоской фигуры $D$, ограниченной замкнутой кривой $C$, можно использовать формулу Грина. Площадь $A$ фигуры $D$ можно вычислить с помощью криволинейного интеграла: + +$$A=\frac{1}{2}\oint_{C}(x\,dy-y\,dx).$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления площади круга радиуса $R$, центрированного в начале координат. Круг можно параметризовать как $(x(t), y(t)) = (R\cos t, R\sin t)$ для $t \in [0, 2\pi]$. Тогда криволинейный интеграл для вычисления площади будет: + +$$A=\frac{1}{2}\oint_{C}(x\,dy-y\,dx)=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(R\cos t\frac{dy}{dt}-R\sin t\frac{dx}{dt})\,dt.$$ + +Вычислим производные: + +$$\frac{dx}{dt}=-R\sin t,$$ +$$\frac{dy}{dt}=R\cos t.$$ + +Подставим их в интеграл: + +$$A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(R\cos t\cdot R\cos t-R\sin t\cdot(-R\sin t))\,dt=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}(R^2\cos^2t+R^2\sin^2t)\,dt.$$ + +Упростим интеграл: + +$$A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}R^2\,dt=\frac{R^2}{2}\int_{0}^{2\pi}dt=\frac{R^2}{2}\cdot2\pi=\pi R^2.$$ + +Таким образом, площадь круга равна $\pi R^2$, что соответствует известной формуле для площади круга. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/37.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/37.md new file mode 100644 index 0000000..77786b5 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/37.md @@ -0,0 +1,61 @@ +## Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Полный дифференциал. Восстановление функции по её полному дифференциалу. + +### Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования + +Криволинейный интеграл второго рода векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ по кривой $C$ определяется как: + +$$\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$$ + +Этот интеграл не зависит от пути интегрирования, если векторное поле $\mathbf{F}$ является потенциальным, то есть существует скалярная функция $U(x, y, z)$, такая что: + +$$\mathbf{F}=\nabla U.$$ + +Это означает, что: + +$$P=\frac{\partial U}{\partial x},$$ +$$Q=\frac{\partial U}{\partial y},$$ +$$R=\frac{\partial U}{\partial z}.$$ + +### Полный дифференциал + +Полный дифференциал функции $U(x, y, z)$ определяется как: + +$$dU=\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy+\frac{\partial U}{\partial z}dz.$$ + +Если векторное поле $\mathbf{F}$ является потенциальным, то: + +$$P\,dx+Q\,dy+R\,dz=dU.$$ + +### Восстановление функции по её полному дифференциалу + +Если известен полный дифференциал функции $U(x, y, z)$, то можно восстановить саму функцию $U(x, y, z)$ с точностью до аддитивной константы. Для этого нужно интегрировать полный дифференциал по некоторому пути от начальной точки $(x_0, y_0, z_0)$ до конечной точки $(x, y, z)$: + +$$U(x,y,z)=U(x_0,y_0,z_0)+\int_{(x_0,y_0,z_0)}^{(x,y,z)}dU.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример восстановления функции по её полному дифференциалу. Пусть полный дифференциал функции $U(x, y, z)$ имеет вид: + +$$dU=yz\,dx+xz\,dy+xy\,dz.$$ + +Для восстановления функции $U(x, y, z)$ интегрируем полный дифференциал по пути от начальной точки $(0, 0, 0)$ до конечной точки $(x, y, z)$. Выберем путь, состоящий из трёх отрезков: от $(0, 0, 0)$ до $(x, 0, 0)$, от $(x, 0, 0)$ до $(x, y, 0)$ и от $(x, y, 0)$ до $(x, y, z)$. + +1. На первом отрезке $dy=0$ и $dz=0$, поэтому: + +$$\int_{(0,0,0)}^{(x,0,0)}dU=\int_{0}^{x}yz\,dx=0.$$ + +2. На втором отрезке $dx=0$ и $dz=0$, поэтому: + +$$\int_{(x,0,0)}^{(x,y,0)}dU=\int_{0}^{y}xz\,dy=0.$$ + +3. На третьем отрезке $dx=0$ и $dy=0$, поэтому: + +$$\int_{(x,y,0)}^{(x,y,z)}dU=\int_{0}^{z}xy\,dz=xyz.$$ + +Суммируя результаты, получаем: + +$$U(x,y,z)=U(0,0,0)+xyz.$$ + +Так как $U(0,0,0)$ — это произвольная константа, обозначим её как $C$. Тогда: + +$$U(x,y,z)=xyz+C.$$ \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/38.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/38.md new file mode 100644 index 0000000..5227240 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/38.md @@ -0,0 +1,93 @@ +## Приложения криволинейных интегралов второго рода + +### Вычисление работы + +Работа, совершаемая силовым полем $\mathbf{F}(x, y, z)$ при перемещении частицы по кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t))$ для $t \in [a, b]$, можно вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода: + +$$W=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz,$$ + +где $\mathbf{F}=P\mathbf{i}+Q\mathbf{j}+R\mathbf{k}$ — векторное поле силы, а $d\mathbf{r}=dx\mathbf{i}+dy\mathbf{j}+dz\mathbf{k}$ — вектор элементарного смещения. + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления работы, совершаемой силовым полем $\mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ при перемещении частицы по кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$. + +Сначала вычислим производные: + +$$\frac{dx}{dt}=1,$$ +$$\frac{dy}{dt}=2t,$$ +$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$ + +Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла второго рода: + +$$W=\int_{0}^{1}(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})\,dt=\int_{0}^{1}(t^2\cdot1+t\cdot2t+t^3\cdot3t^2)\,dt.$$ + +Упростим интеграл: + +$$\int_{0}^{1}(t^2+2t^2+3t^5)\,dt=\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt.$$ + +Теперь вычислим интеграл: + +$$\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt=\left[t^3+\frac{t^6}{2}\right]_{0}^{1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$ + +Таким образом, работа, совершаемая силовым полем, равна $\frac{3}{2}$. + +### Вычисление потока векторного поля + +Поток векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z)$ через кривую $C$ можно вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода: + +$$\Phi=\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления потока векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ через кривую $C$, параметризованную как $(x(t), y(t), z(t)) = (t, t^2, t^3)$ для $t \in [0, 1]$. + +Сначала вычислим производные: + +$$\frac{dx}{dt}=1,$$ +$$\frac{dy}{dt}=2t,$$ +$$\frac{dz}{dt}=3t^2.$$ + +Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла второго рода: + +$$\Phi=\int_{0}^{1}(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})\,dt=\int_{0}^{1}(t^2\cdot1+t\cdot2t+t^3\cdot3t^2)\,dt.$$ + +Упростим интеграл: + +$$\int_{0}^{1}(t^2+2t^2+3t^5)\,dt=\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt.$$ + +Теперь вычислим интеграл: + +$$\int_{0}^{1}(3t^2+3t^5)\,dt=\left[t^3+\frac{t^6}{2}\right]_{0}^{1}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$ + +Таким образом, поток векторного поля через кривую равен $\frac{3}{2}$. + +### Вычисление циркуляции векторного поля + +Циркуляция векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z)$ по замкнутой кривой $C$ можно вычислить с помощью криволинейного интеграла второго рода: + +$$\Gamma=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy+R\,dz.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления циркуляции векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ по замкнутой кривой $C$, параметризованной как $(x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, t)$ для $t \in [0, 2\pi]$. + +Сначала вычислим производные: + +$$\frac{dx}{dt}=-\sin t,$$ +$$\frac{dy}{dt}=\cos t,$$ +$$\frac{dz}{dt}=1.$$ + +Теперь подставим все в формулу криволинейного интеграла второго рода: + +$$\Gamma=\oint_{C}(y\frac{dx}{dt}+x\frac{dy}{dt}+z\frac{dz}{dt})\,dt=\int_{0}^{2\pi}(\sin t(-\sin t)+\cos t\cos t+t\cdot1)\,dt.$$ + +Упростим интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}(-\sin^2t+\cos^2t+t)\,dt=\int_{0}^{2\pi}(\cos 2t+t)\,dt.$$ + +Теперь вычислим интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}(\cos 2t+t)\,dt=\left[\frac{\sin 2t}{2}+\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{2\pi}=0+\frac{(2\pi)^2}{2}=2\pi^2.$$ + +Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутой кривой равна $2\pi^2$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/39.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/39.md new file mode 100644 index 0000000..aa03ba8 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/39.md @@ -0,0 +1,63 @@ +## Поверхностные интегралы первого рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла первого рода. +### Определение поверхностного интеграла первого рода + +Поверхностный интеграл первого рода функции $f(x, y, z)$ по поверхности $S$, параметризованной как $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ для $(u, v) \in D$, определяется как: + +$$\iint_{S}f(x,y,z)\,dS=\iint_{D}f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv,$$ + +где $E$, $G$ и $F$ — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности: + +$$E=\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2,$$ +$$G=\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2,$$ +$$F=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}.$$ + +### Теорема существования поверхностного интеграла первого рода + +Теорема существования поверхностного интеграла первого рода утверждает, что если функция $f(x, y, z)$ непрерывна на поверхности $S$, то поверхностный интеграл $\iint_{S}f(x,y,z)\,dS$ существует. + +### Свойства поверхностных интегралов первого рода + +1. **Линейность**: + - Если $f(x, y, z)$ и $g(x, y, z)$ интегрируемы на поверхности $S$, то для любых констант $a$ и $b$: + + $$\iint_{S}(af(x,y,z)+bg(x,y,z))\,dS=a\iint_{S}f(x,y,z)\,dS+b\iint_{S}g(x,y,z)\,dS.$$ + +2. **Аддитивность**: + - Если поверхность $S$ состоит из двух частей $S_1$ и $S_2$, то: + + $$\iint_{S}f(x,y,z)\,dS=\iint_{S_1}f(x,y,z)\,dS+\iint_{S_2}f(x,y,z)\,dS.$$ + +3. **Монотонность**: + - Если $f(x, y, z) \geq g(x, y, z)$ для всех $(x, y, z)$ на поверхности $S$, то: + + $$\iint_{S}f(x,y,z)\,dS\geq\iint_{S}g(x,y,z)\,dS.$$ + +### Вычисление поверхностного интеграла первого рода + +Рассмотрим пример вычисления поверхностного интеграла первого рода функции $f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2$ по поверхности $S$, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. + +Сначала параметризуем поверхность: + +$$x=r\cos\theta,$$ +$$y=r\sin\theta,$$ +$$z=r^2.$$ + +Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы: + +$$E=\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2=(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2+(2r)^2=1+4r^2,$$ +$$G=\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial\theta}\right)^2=(-r\sin\theta)^2+(r\cos\theta)^2+0=r^2,$$ +$$F=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial z}{\partial\theta}=0.$$ + +Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла: + +$$\iint_{S}(x^2+y^2+z^2)\,dS=\iint_{D}(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta+r^4)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Упростим интеграл: + +$$\iint_{D}(r^2+r^4)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(r^2+r^4)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Теперь вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}(r^2+r^4)\sqrt{1+4r^2}r\,dr.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/40.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/40.md new file mode 100644 index 0000000..71730f9 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/40.md @@ -0,0 +1,120 @@ +## Приложения поверхностных интегралов первого рода +### Вычисление площади поверхности + +Площадь поверхности $S$ можно вычислить с помощью поверхностного интеграла первого рода: + +$$A=\iint_{S}dS.$$ + +Если поверхность $S$ параметризована как $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ для $(u, v) \in D$, то площадь поверхности можно вычислить как: + +$$A=\iint_{D}\sqrt{EG-F^2}\,du\,dv,$$ + +где $E$, $G$ и $F$ — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности: + +$$E=\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial u}\right)^2,$$ +$$G=\left(\frac{\partial x}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial v}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial v}\right)^2,$$ +$$F=\frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v}+\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления площади поверхности, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. + +Сначала параметризуем поверхность: + +$$x=r\cos\theta,$$ +$$y=r\sin\theta,$$ +$$z=r^2.$$ + +Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы: + +$$E=\left(\frac{\partial x}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial r}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial r}\right)^2=(\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2+(2r)^2=1+4r^2,$$ +$$G=\left(\frac{\partial x}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial y}{\partial\theta}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial\theta}\right)^2=(-r\sin\theta)^2+(r\cos\theta)^2+0=r^2,$$ +$$F=\frac{\partial x}{\partial r}\frac{\partial x}{\partial\theta}+\frac{\partial y}{\partial r}\frac{\partial y}{\partial\theta}+\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial z}{\partial\theta}=0.$$ + +Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла: + +$$A=\iint_{D}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. + +### Вычисление массы поверхности + +Масса поверхности $S$ с плотностью $\rho(x, y, z)$ можно вычислить с помощью поверхностного интеграла первого рода: + +$$M=\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления массы поверхности, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат, с плотностью $\rho(x, y, z) = 1$. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. + +Сначала параметризуем поверхность: + +$$x=r\cos\theta,$$ +$$y=r\sin\theta,$$ +$$z=r^2.$$ + +Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы: + +$$E=1+4r^2,$$ +$$G=r^2,$$ +$$F=0.$$ + +Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла: + +$$M=\iint_{D}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}\sqrt{1+4r^2}r\,dr.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. + +### Вычисление центра масс поверхности + +Координаты центра масс поверхности $S$ с плотностью $\rho(x, y, z)$ можно вычислить с помощью поверхностных интегралов первого рода: + +$$x_c=\frac{\iint_{S}x\rho(x,y,z)\,dS}{\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS},$$ +$$y_c=\frac{\iint_{S}y\rho(x,y,z)\,dS}{\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS},$$ +$$z_c=\frac{\iint_{S}z\rho(x,y,z)\,dS}{\iint_{S}\rho(x,y,z)\,dS}.$$ + +### Вычисление моментов инерции поверхности + +Моменты инерции поверхности $S$ относительно осей $x$, $y$ и $z$ можно вычислить с помощью поверхностных интегралов первого рода: + +$$I_x=\iint_{S}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dS,$$ +$$I_y=\iint_{S}(x^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dS,$$ +$$I_z=\iint_{S}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dS.$$ + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления момента инерции поверхности, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат, с плотностью $\rho(x, y, z) = 1$. В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. + +Сначала параметризуем поверхность: + +$$x=r\cos\theta,$$ +$$y=r\sin\theta,$$ +$$z=r^2.$$ + +Теперь вычислим коэффициенты первой квадратичной формы: + +$$E=1+4r^2,$$ +$$G=r^2,$$ +$$F=0.$$ + +Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла для момента инерции относительно оси $z$: + +$$I_z=\iint_{S}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\,dS=\iint_{D}(r^2\cos^2\theta+r^2\sin^2\theta)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Упростим интеграл: + +$$\iint_{D}r^2\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr\,d\theta.$$ + +Вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}r^3\sqrt{1+4r^2}\,dr.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41.md new file mode 100644 index 0000000..e77368b --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/41.md @@ -0,0 +1,64 @@ +## Поверхностные интегралы второго рода: определение, теорема существования (без доказательства), свойства. Вычисление поверхностного интеграла второго рода. + +### Определение поверхностного интеграла второго рода + +Поверхностный интеграл второго рода векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ по поверхности $S$, параметризованной как $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ для $(u, v) \in D$, определяется как: + +$$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,$$ + +где $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности $S$, а $d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS$ — векторный элемент площади поверхности. + +Если поверхность $S$ задана уравнением $z = f(x, y)$, то: + +$$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{D}(-P\frac{\partial f}{\partial x}-Q\frac{\partial f}{\partial y}+R)\,dx\,dy,$$ + +где $D$ — проекция поверхности $S$ на плоскость $xy$. + +### Теорема существования поверхностного интеграла второго рода + +Теорема существования поверхностного интеграла второго рода утверждает, что если компоненты векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z)$ непрерывны на поверхности $S$, то поверхностный интеграл $\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}$ существует. + +### Свойства поверхностных интегралов второго рода + +1. **Линейность**: + - Если $\mathbf{F}$ и $\mathbf{G}$ — векторные поля, интегрируемые по поверхности $S$, то для любых констант $a$ и $b$: + + $$\iint_{S}(a\mathbf{F}+b\mathbf{G})\cdot d\mathbf{S}=a\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+b\iint_{S}\mathbf{G}\cdot d\mathbf{S}.$$ + +2. **Аддитивность**: + - Если поверхность $S$ состоит из двух частей $S_1$ и $S_2$, то: + + $$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}+\iint_{S_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.$$ + +3. **Обращение направления нормали**: + - Если изменить направление нормали $\mathbf{n}$ на противоположное, то: + + $$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot(-\mathbf{n})\,dS=-\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS.$$ + +### Вычисление поверхностного интеграла второго рода + +Рассмотрим пример вычисления поверхностного интеграла второго рода векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ по поверхности $S$, заданной уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат. + +Сначала найдем нормаль к поверхности: + +$$\mathbf{n}=\frac{\nabla(z-x^2-y^2)}{|\nabla(z-x^2-y^2)|}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.$$ + +Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла второго рода: + +$$\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy,$$ + +где $D$ — круг радиуса $R$ на плоскости $xy$. + +В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда: + +$$\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-2r^2+r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Упростим интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Теперь вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42.md new file mode 100644 index 0000000..4afc2b4 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/42.md @@ -0,0 +1,45 @@ +## Формула Остроградского-Гаусса + +### Формулировка теоремы Остроградского-Гаусса + +Пусть $V$ — область в трёхмерном пространстве, ограниченная замкнутой поверхностью $S$, и пусть $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определённое на $V$ и $S$. Тогда: + +$$\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\oiint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,$$ + +где $\nabla\cdot\mathbf{F}$ — дивергенция векторного поля $\mathbf{F}$, а $\mathbf{n}$ — единичный вектор внешней нормали к поверхности $S$. + +### Доказательство теоремы Остроградского-Гаусса + +Доказательство теоремы Остроградского-Гаусса основано на применении теоремы Стокса и свойств дивергенции векторного поля. Мы не будем приводить полное доказательство, но отметим, что оно включает использование теоремы о потоке векторного поля через замкнутую поверхность и теоремы о циркуляции векторного поля. + +### Применение теоремы Остроградского-Гаусса + +Теорема Остроградского-Гаусса имеет множество приложений в физике и математике. Рассмотрим несколько примеров. + +#### Пример 1: Вычисление потока векторного поля + +Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и область $V$, ограниченную сферой радиуса $R$, центрированной в начале координат. Поверхность $S$ — это сфера радиуса $R$. + +Сначала вычислим дивергенцию векторного поля: + +$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3.$$ + +Теперь применим теорему Остроградского-Гаусса: + +$$\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\iiint_{V}3\,dV=3\iiint_{V}\,dV=3\cdot\frac{4}{3}\pi R^3=4\pi R^3.$$ + +Таким образом, поток векторного поля через поверхность $S$ равен $4\pi R^3$. + +#### Пример 2: Вычисление объема области + +Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и область $V$, ограниченную кубом с вершинами $(0,0,0)$, $(1,0,0)$, $(1,1,0)$, $(0,1,0)$, $(0,0,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,1)$, $(0,1,1)$. Поверхность $S$ — это грани куба. + +Сначала вычислим дивергенцию векторного поля: + +$$\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+1+1=3.$$ + +Теперь применим теорему Остроградского-Гаусса: + +$$\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV=\iiint_{V}3\,dV=3\iiint_{V}\,dV=3\cdot1=3.$$ + +Таким образом, объем области $V$ равен $1$. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43.md new file mode 100644 index 0000000..178c23a --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/43.md @@ -0,0 +1,57 @@ +## Формула Стокса + +### Формулировка теоремы Стокса + +Пусть $S$ — ориентированная поверхность в трёхмерном пространстве, ограниченная замкнутой кривой $C$, и пусть $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определённое на $S$ и $C$. Тогда: + +$$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS,$$ + +где $\nabla\times\mathbf{F}$ — ротор векторного поля $\mathbf{F}$, а $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности $S$. + +### Доказательство теоремы Стокса + +Доказательство теоремы Стокса основано на применении теоремы Грина и свойств ротора векторного поля. Мы не будем приводить полное доказательство, но отметим, что оно включает использование теоремы о циркуляции векторного поля и теоремы о потоке векторного поля через замкнутую кривую. + +### Применение теоремы Стокса + +Теорема Стокса имеет множество приложений в физике и математике. Рассмотрим несколько примеров. + +#### Пример 1: Вычисление циркуляции векторного поля + +Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = y\mathbf{i} + x\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и замкнутую кривую $C$, параметризованную как $(x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, t)$ для $t \in [0, 2\pi]$. Поверхность $S$ — это диск, ограниченный этой кривой. + +Сначала вычислим ротор векторного поля: + +$$\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\y&x&z\end{matrix}\right|=\mathbf{i}(0-0)-\mathbf{j}(0-1)+\mathbf{k}(1-1)=-\mathbf{j}.$$ + +Теперь применим теорему Стокса: + +$$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}(-\mathbf{j})\cdot\mathbf{n}\,dS.$$ + +Единичный вектор нормали $\mathbf{n}$ к поверхности $S$ можно вычислить как: + +$$\mathbf{n}=\frac{\nabla(z-x^2-y^2)}{|\nabla(z-x^2-y^2)|}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.$$ + +Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла: + +$$\iint_{S}(-\mathbf{j})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}(-\mathbf{j})\cdot\frac{(-2y)\mathbf{j}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS=\iint_{S}\frac{2y}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS.$$ + +Вычислим этот интеграл: + +$$\iint_{S}\frac{2y}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\,dS.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. + +#### Пример 2: Вычисление потока векторного поля + +Рассмотрим векторное поле $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ и замкнутую кривую $C$, параметризованную как $(x(t), y(t), z(t)) = (\cos t, \sin t, t)$ для $t \in [0, 2\pi]$. Поверхность $S$ — это диск, ограниченный этой кривой. + +Сначала вычислим ротор векторного поля: + +$$\nabla\times\mathbf{F}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\x&y&z\end{matrix}\right|=\mathbf{i}(0-0)-\mathbf{j}(0-0)+\mathbf{k}(1-1)=0.$$ + +Теперь применим теорему Стокса: + +$$\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{S}0\cdot\mathbf{n}\,dS=0.$$ + +Таким образом, циркуляция векторного поля по замкнутой кривой равна нулю. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44.md new file mode 100644 index 0000000..40f6612 --- /dev/null +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/44.md @@ -0,0 +1,73 @@ +## Приложения поверхностных интегралов второго рода + +### Вычисление потока векторного поля через поверхность + +Поток векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$ через поверхность $S$ можно вычислить с помощью поверхностного интеграла второго рода: + +$$\Phi=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS,$$ + +где $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности $S$, а $d\mathbf{S} = \mathbf{n}\,dS$ — векторный элемент площади поверхности. + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления потока векторного поля $\mathbf{F}(x, y, z) = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ через поверхность $S$, заданную уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат. + +Сначала найдем нормаль к поверхности: + +$$\mathbf{n}=\frac{\nabla(z-x^2-y^2)}{|\nabla(z-x^2-y^2)|}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.$$ + +Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла второго рода: + +$$\Phi=\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy,$$ + +где $D$ — круг радиуса $R$ на плоскости $xy$. + +В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда: + +$$\iint_{D}(-2x^2-2y^2+z)\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-2r^2+r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Упростим интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr\,d\theta.$$ + +Теперь вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}(-r^2)\sqrt{1+4r^2}r\,dr.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. + +### Вычисление силы, действующей на поверхность + +Сила, действующая на поверхность $S$ под давлением $p(x, y, z)$, можно вычислить с помощью поверхностного интеграла второго рода: + +$$\mathbf{F}=\iint_{S}p(x,y,z)\mathbf{n}\,dS,$$ + +где $\mathbf{n}$ — единичный вектор нормали к поверхности $S$. + +#### Пример + +Рассмотрим пример вычисления силы, действующей на поверхность $S$, заданную уравнением $z = x^2 + y^2$ над кругом радиуса $R$, центрированного в начале координат, под давлением $p(x, y, z) = 1$. + +Сначала найдем нормаль к поверхности: + +$$\mathbf{n}=\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}.$$ + +Теперь подставим все в формулу поверхностного интеграла второго рода: + +$$\mathbf{F}=\iint_{S}p(x,y,z)\mathbf{n}\,dS=\iint_{D}\frac{(-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k}}{\sqrt{1+4x^2+4y^2}}\sqrt{1+4x^2+4y^2}\,dx\,dy,$$ + +где $D$ — круг радиуса $R$ на плоскости $xy$. + +В полярных координатах $(r, \theta)$ область $D$ описывается как $0 \leq r \leq R$ и $0 \leq \theta \leq 2\pi$. Тогда: + +$$\iint_{D}((-2x)\mathbf{i}+(-2y)\mathbf{j}+\mathbf{k})\,dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}((-2r\cos\theta)\mathbf{i}+(-2r\sin\theta)\mathbf{j}+\mathbf{k})r\,dr\,d\theta.$$ + +Упростим интеграл: + +$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{R}((-2r^2\cos\theta)\mathbf{i}+(-2r^2\sin\theta)\mathbf{j}+\mathbf{k})\,dr\,d\theta.$$ + +Теперь вычислим внутренний интеграл: + +$$\int_{0}^{R}((-2r^2\cos\theta)\mathbf{i}+(-2r^2\sin\theta)\mathbf{j}+\mathbf{k})\,dr.$$ + +Для вычисления этого интеграла можно использовать численные методы или специальные функции. \ No newline at end of file diff --git a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md index 3eca7ec..1b415a3 100644 --- a/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md +++ b/2 курс/1 семестр/Вышмат/Вопросы.md @@ -1,4 +1,4 @@ -Тема 1. Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье. +## Тема 1. Числовые, функциональные, степенные ряды, ряды Фурье. 1. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/1|Числовые ряды. Общий член ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. ]] 2. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2|Гармонический и обобщенный гармонический ряды и их сходимость. ]] 3. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/3| Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. ]] @@ -22,7 +22,7 @@ 21. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/21|Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.]] 22. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/22|Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода.]] 23. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/23|Разложение в ряд Фурье непериодической функции.]] -Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы +## Тема 2. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы 24. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/24|Двойной интеграл, определение и свойства. Теорема существования.]] 25. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/25|Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.]] 26. [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/2 раздел/26|Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах: сведение двойного интеграла к повторному.]]