Пусть $f(x)$ — функция с периодом $T$. Тогда *ряд Фурье* для функции $f(x)$ имеет вид: $f(x) = \frac{a_0} 2 + \sum\limits_{n=1}^\infty \left( a_n\cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) + b_n \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) \right)$, где коэффициенты $a_n$ и $b_n$ определяются следующими формулами:
- $a_0 = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) dx$
- $a_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$
- $b_n = \frac 2 T \int\limits_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin \left( \frac{2\pi nx} T \right) dx$
Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=x$ имеет вид: $f(x) = \frac{2L} \pi \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}} n \sin \left( \frac{\pi nx} L \right)$
Таким образом, *ряд Фурье* для функции $f(x)=|x|$ имеет вид: $f(x) = \frac L 2 + \frac{2L}{\pi^2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n^2} \cos \left( \frac{\pi nx} L \right)$