University-notes/2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/10.md

# Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.

## Введение
**Функциональные ряды** — это ряды, члены которых являются функциями от переменной

## Функциональные ряды
**Функциональный ряд** — это ряд вида $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$, где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.

## Частичная сумма и сумма функционального ряда
**Частичная сумма** функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда: $S_n(x) = \sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ ^2cb2e9

**Сумма** функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$: $S(x) = \lim\limits_{n\to\infty}S_n(x)$ ^f4f31b

## Сходимость функционального ряда
Функциональный ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *сходится* в точке $x_0$, если существует конечный предел: $\lim\limits_{n\to\infty} S_n(x_0)$

## Область сходимости функционального ряда
**Область сходимости** функционального ряда — это множество всех точек, в которых ряд *сходится*. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.

## Признаки сходимости функциональных рядов

### Признак Вейерштрасса
**Признак Вейерштрасса** позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.

#### Формулировка признака Вейерштрасса
Пусть $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$, такой что $\forall n \forall x \in D: |f_n(x)| \leq M_n$.

Если ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty M_n$ *сходится*, то ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(x)$ *равномерно сходится* на $D$.

#### Пример
Рассмотрим ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$.

Оценим $|f_n(x)|$: $\left| \frac{\sin(nx)}{n^2} \right| \leq \frac 1 {n^2}$

Ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}$ *сходится*, так как это [[2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/2#^e8e233|обобщенный гармонический ряд]] с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.