51 lines
3.1 KiB
Markdown
51 lines
3.1 KiB
Markdown
|
# Функциональные ряды. Частичная сумма и сумма функционального ряда. Сходимость, область сходимости функционального ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Введение
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Функциональные ряды — это ряды, члены которых являются функциями от переменной $x$. Они играют важную роль в математике и её приложениях.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Функциональные ряды
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Функциональный ряд — это ряд вида:
|
|||
|
|
$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$
|
|||
|
|
где $f_n(x)$ — функции от переменной $x$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Частичная сумма и сумма функционального ряда
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Частичная сумма функционального ряда — это сумма первых $n$ членов ряда:
|
|||
|
|
$S_n(x)=\sum_{k=1}^{n}f_k(x)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Сумма функционального ряда — это предел частичных сумм при $n\to\infty$:
|
|||
|
|
$S(x)=\lim_{n\to\infty}S_n(x)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Сходимость функционального ряда
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Функциональный ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ сходится в точке $x_0$, если существует конечный предел:
|
|||
|
|
$\lim_{n\to\infty}S_n(x_0)$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Область сходимости функционального ряда
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Область сходимости функционального ряда — это множество всех точек $x$, в которых ряд сходится. Область сходимости может быть открытым или замкнутым интервалом, а также может состоять из отдельных точек.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
## Признаки сходимости функциональных рядов
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Признак Вейерштрасса
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Признак Вейерштрасса позволяет определить равномерную сходимость функционального ряда.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
#### Формулировка признака Вейерштрасса
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Пусть $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ — функциональный ряд, и пусть существует ряд положительных чисел $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$, такой что:
|
|||
|
|
$|f_n(x)|\leq M_n$ для всех $x$ в области $D$ и для всех $n$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Если ряд $\sum_{n=1}^{\infty}M_n$ сходится, то ряд $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ равномерно сходится на $D$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
### Пример
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Рассмотрим ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$.
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Оценим $|f_n(x)|$:
|
|||
|
|
$|\frac{\sin(nx)}{n^2}|\leq\frac{1}{n^2}$
|
|||
|
|
|
|||
|
|
Ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ сходится, так как это обобщенный гармонический ряд с $p=2>1$. Следовательно, ряд $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$ равномерно сходится на всей числовой прямой по признаку Вейерштрасса.
|