2.3 KiB
Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда
Введение
Степенной ряд — это ряд вида \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n, где a_n — коэффициенты, а x — переменная. Радиус сходимости степенного ряда — это число R, такое что ряд сходится для всех |x|<R и расходится для всех |x|>R.
Формула Коши-Адамара
Формула Коши-Адамара позволяет найти 2 курс/1 семестр/Вышмат/Билеты/1 раздел/14#^e4c1fc степенного ряда \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n с помощью предела: R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}
Пример
Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.
Найдем радиус сходимости: R = \frac 1 {\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left| \frac 1 {n!} \right|}} = \infty
Таким образом, ряд сходится для всех x\in\mathbb{R}.
Формула Даламбера
Формула Даламбера позволяет найти радиус сходимости степенного ряда \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n с помощью предела: R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|
Пример
Рассмотрим ряд \sum_{n=0}^\infty n!x^n.
Найдем радиус сходимости: R = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac{n!}{(n+1)!} \right| = \lim\limits_{n\to\infty} \left| \frac 1 {n+1} \right| = 0
Таким образом, ряд сходится только в точке x=0.
Формула Коши
Формула Коши позволяет найти радиус сходимости степенного ряда \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n с помощью предела: R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}
Пример
Рассмотрим ряд \sum\limits_{n=0}^\infty x^n.
Найдем радиус сходимости: R = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|1|} = 1
Таким образом, ряд сходится для всех |x|<1 и расходится для всех |x|>1.