University-notes/1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/17.md

Базис. Теорема о размере базиса. * Базис замкнутого класса. Примеры базисов.

Базис

• Базис
  1. минимальная по включению полная система функций
  2. полная система, которая перестаёт быть таковой после удаления любой функции

Примеры

• 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#^27f049
• \set{xy, \bar x}
• \set{x \vee y, \bar x}
• \set{xy, x \oplus y, 1}

Теорема о размере базиса

Теорема

Каждый базис содержит не более четырех функций.

Доказательство

Покажем, что в каждой полной системе содержится полная подсистема не более чем из четырех функций. По 1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#Теорема в любой полной системе имеются функции f_1 \notin T_0, f_2 \notin T_1, f_3 \notin S, f_4 \notin M, f_5 \notin L

Множество \set{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5} - полная система Рассмотрим f_1. Т.к. f_1 \notin T_0, то f_1(0, \dots, 0) = 1

Если f_1(1, \dots, 1) = 1, то f_1 \notin S, тогда множество \set{f_1, f_2, f_4, f_5} - полная система Иначе f_1 \notin T_1; f_1 \notin M, тогда \set{f_1, f_3, f_5} - полная система

Базис замкнутого класса

• Базис замкнутого класса - минимальная по включению система функций Y такая, что [Y] = X

Примеры

• S = [\set{x \bar y \vee x \bar z \vee \bar y \bar z}] = [\set{\bar x, m(x, y, z)}]
• M = [\set{0, 1, xy, x \vee y}]
• L = [\set{x \oplus y, 1}]
• LS = [\set{\overline{x \oplus y \oplus z}}] = [\set{\bar x, l_3(x, y, z)}]
• T_0T_1M = [\set{xy, x \vee y}]

Задача

\begin{equation*} if(x, y, z) = \begin{cases} y, x = 1\\ z, x = 0 \end{cases} \end{equation*} Доказать, что T_0T_1 = [\{if\}]