Add cheatsheet (14-17)

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11.md

@@ -40,6 +40,7 @@ $g(\overline{y_1}, \overline{y_2}, \dots, \overline{y_m}) = \overline{g^*(y_1, y
 Из принципа двойственности, $h^* = f^*(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g^*(y_1, y_2, \dots, y_m)) = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(y_1, y_2, \dots, y_m)) = h$, следовательно, $h \in S$
 
 # Лемма о несамодвойственной функции
+## Лемма
 Если функция f несамодвойственна, то константы являются суперпозицией функций $f$ и $\bar x$. Т.е. если $f \notin S$, то ${0,1} \subseteq [\{f, \bar x\}]$
 ## Доказательство
 Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin S$. Тогда существует такой набор $(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$, что $f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) = f(\bar\alpha_1, \bar\alpha_2, \dots, \bar\alpha_n) = c \in \{0,1\}$ ([[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#Разложение функции по переменной|Разложение по переменной]])

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12.md

@@ -21,11 +21,12 @@ flowchart TD
 ```
 
 # Монотонные функции
-**Монотонная функция** (класс М) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$, если $f(\tilde a) \le f(\tilde b)$ для любых $\tilde a \preceq \tilde b$
+**Монотонная функция** (*класс М*) - $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$, если $f(\tilde a) \le f(\tilde b)$ для любых $\tilde a \preceq \tilde b$
 
 # Замкнутость класса 𝑀
 ## Теорема
 Класс M замкнут
+
 ## Доказательство
 Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in M$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in M$
 Рассмотрим $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14.md

@@ -0,0 +1,75 @@
+	Линейные функции. Замкнутость класса 𝐿. Сокращённая ДНФ линейной функции. Лемма о нелинейной функции
+
+# Линейные функции
+- **Линейная функция** (*класс L*) - функция, которая может быть представлена формулой $a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_nx_n$, где $a_i$ - коэф., равные 1 или 0
+- *Общий вид линейной функции* – это частный случай [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6#Полином Жегалкина|полинома Жегалкина]]: в нём нет произведений переменных.
+
+## Примеры
+- 0
+- 1
+- x
+- $\bar x = x \oplus 1$
+
+# Замкнутость класса 𝐿
+##  Теорема
+Класс 𝐿 замкнут.
+
+## Доказательство
+Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \in L$ и $g(y_1, y_2, \dots, y_m) \in L$
+Рассмотрим $h = f(x_1, x_2, \dots, x_{n-1}, g(x_1, y_2, \dots, y_m), x_{k+1}, \dots, x_n)$
+
+Пусть 
+$f = a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_nx_n$, 
+$g = b_0 \oplus b_1y_1 \oplus b_2y_2 \oplus \dots \oplus b_ny_n$, 
+тогда $h =$
+$= a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_{n-1}x_{n-1} \oplus a_ng(y_1, y_2, \dots, y_m) =$ 
+$= a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_{n-1}x_{n-1} \oplus a_n(b_0 \oplus b_1y_1 \oplus b_2y_2 \oplus \dots \oplus b_ny_n) =$
+$= a_0 \oplus a_1x_1 \oplus a_2x_2 \oplus \dots \oplus a_{n-1}x_{n-1} \oplus a_nb_o \oplus a_nb_1y_1 \oplus a_nb_2y_2 \oplus \dots \oplus a_nb_ny_n \in L$
+
+# Сокращённая ДНФ линейной функции
+## Теорема
+[[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4#Сокращённая ДНФ|Сокращённая ДНФ]] любой линейной функции совпадает с [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/3#^809b89|СДНФ]], построенной на её существенных переменных.
+
+## Доказательство
+Пусть $f \in L$, значит можно записать формулой $f(x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_k}) = x_{i_1} \oplus x_{i_2} \oplus \dots \oplus x_{i_k} \oplus \alpha_0$, где $\alpha_o \in \{0, 1\}$, а $x_{i_1}..x_{i_k}$ - все существенные переменные f
+
+Рассмотрим [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4#Импликанта|импликанту]] $A = x^{\alpha_1}_{i_2} x^{\alpha_2}_{i_2} \dots x^{a_k}_{i_k}$ функции f (очевидно, входящую в СДНФ)
+
+Пусть $A'$ - элементарная конъюнкция отличная от A ровно в одной позиции. НУО, можно предположить, $A' = x^{\overline{\alpha_1}}_{i_1} x^{\alpha_2}_{i_2} \dots x^{a_k}_{i_k}$
+
+Т.к. A - импликанта f, то $f(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_k) = \alpha_1 \oplus \alpha_2 \oplus \dots \oplus \alpha_k \oplus \alpha_0 = 1$
+Но тогда $f(\overline{\alpha_1}, \alpha_2, \dots, \alpha_k) = \overline{\alpha_1} \oplus \alpha_2 \oplus \dots \oplus \alpha_k \oplus \alpha_0 = \alpha_1$ ==$\oplus 1$== $\oplus \alpha_2 \oplus \dots \oplus \alpha_k \oplus \alpha_0 = 1 \oplus 1 = 0$
+
+Т.е. $A'$ не является импликантой f. Таким образом, любые 2 импликанты, входящие в СДНФ функции f, отличаются не менее, чем в 2х позициях и, следовательно, являются простыми
+Т.е. сокращённая ДНФ совпадает с СДНФ
+
+# Лемма о нелинейной функции
+## Лемма
+Если функция 𝑓 нелинейна, то функция 𝑥𝑦 является суперпозицией функций $f, 0, 1$ и $\bar x$. То есть если $f \notin L$, то $xy \in [\{f, 0, 1, \bar x\}]$.
+## Доказательство
+Пусть $f(x_1, x_2, \dots, x_n) \notin L$, тогда в [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6#Полином Жегалкина|полином Жегалкина]] этой функции входит конъюнкция каких-нибудь переменных. НУО, предположим, что это конъюнкция $x_1$ и $x_2$
+
+Вынесем $x_1x_2$ за скобку, тогда в скобках останется полином остальных переменных. Обозначим $p_{1,2}(x_3, \dots, x_n)$
+В оставшийся части выражения вынесем отдельные $x_1$ и $x_2$ за скобку. Полиномы в скобках обозначим $p_1(x_3, \dots, x_n)$ и $p_2(x_3, \dots, x_n)$ соответственно
+Все слагаемые без $x_1$ и $x_2$ тоже образуют полином - $p_0(x_3, \dots, x_n)$
+
+Итак, $f(x_1, x_2, \dots, x_n) = x_1x_2p_{1,2}(x_3, \dots, x_n) \oplus x_1p_1(x_3, \dots, x_n) \oplus x_2p_2(x_3, \dots, x_n) \oplus p_0(x_3, \dots, x_n)$
+$p_{1,2}(x_3, \dots, x_n) \neq 0$, иначе f эквивалентна полиному без $x_1x_2$, что противоречит [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6#Единственность полинома Жегалкина|единственности полинома для функции]]
+
+Таким образом, существуют такие $\alpha_3, \dots, \alpha_n$, что $p_{1,2}(\alpha_3, \dots, \alpha_n) = 1$
+Пусть $p_1(\alpha_3, \dots, \alpha_n) = \alpha_1$, $p_2(\alpha_3, \dots, \alpha_n) = \alpha_2$, $p_0(\alpha_3, \dots, \alpha_n) = \alpha_0$
+Подставим $\alpha_3, \dots, \alpha_n$ в f вместо $x_3, \dots, x_n$:
+$$
+	f(x_1, x_2, \alpha_3, \dots, \alpha_n) = x_1x_2 \oplus x_1\alpha_1 \oplus x_2\alpha_2 \oplus \alpha_0
+$$
+
+Теперь подставим вместо $x_1$ функцию $x \oplus \alpha_2$, вместо $x_2$ - $y \oplus \alpha_1$:
+$f(x \oplus \alpha_2, y \oplus \alpha_1, \alpha_3, \dots, \alpha_n) =$
+$= (x \oplus \alpha_2)(y \oplus \alpha_1) \oplus (x \oplus \alpha_2)\alpha_1 \oplus (y \oplus \alpha_1)\alpha_2 \oplus \alpha_0 =$
+$= xy \oplus \alpha_2y \oplus \alpha_1x \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_1x \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_2y \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_0 =$
+$= xy \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_0$
+
+Введём функцию $h(x, y) = f(x \oplus \alpha_2, y \oplus \alpha_1, \alpha_3, \dots, \alpha_n) \oplus \alpha_1\alpha_2 \oplus \alpha_0$
+$h(x, y) = xy$
+
+Прибавление констант эквивалентно отрицанию или тождественной функции, следовательно, $xy = h(x, y) \in [\{f, 0, 1, \bar x\}]$

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15.md

@@ -0,0 +1,39 @@
+	Критерий Поста. Шефферовы функции
+# Критерий Поста
+##  Теорема
+Множество функций является полной системой тогда и только тогда, когда оно не включено ни в один из классов $T_0, T_1, S, M, L$.
+
+## Доказательство
+Пусть A - множество функций. Допустим, что $A \subseteq X$, где X - один из 5 классов. По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9#^02f9e1|свойству замыкания]] $[A] \subseteq [X]$
+
+Т.к. X - замкнутый класс, то $[X] = X$ и, следовательно, $[A] \subseteq X \ne P_2$
+Следовательно, и A не полная система
+
+Докажем обратное: пусть A не является подмножеством ни одного из 5 классов. Тогда в нём имеются такие функции $f_1, f_2, f_3, f_4, f_5$, что $f_1 \notin T_0, f_2 \notin T_1, f_3 \notin S, f_4 \notin M, f_5 \notin L$. Некоторые (или все) могут совпадать
+
+Рассмотрим $f_1 \notin T_0 \Rightarrow f(0, \dots 0) = 1$. Рассмотрим 2 случая:
+1. $f_1(1, \dots, 1) = 0$, тогда $f_1(x, \dots, x) = \bar x$
+  
+   По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/11#Лемма|лемме о несамодвойственной функции]], $\{0, 1\} \subseteq [\{f_3, \bar x\}]$
+   По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14#Лемма|лемме о нелинейной функции]], $xy \in [\{f_5, 0, 1, \bar x\}]$
+  
+   Таким образом, $\bar x$ и $xy$ суперпозиции из множества $\{f_1, f_3, f_5\}$
+
+2. $f_1(1, \dots, 1) = 1$, тогда $f_1(x, \dots, x) = 1$
+   Т.к. $f_2 \notin T_1$, то $f_2(1, \dots, 1) = 0$. Значит, подставляя 1 вместо всех переменных в $f_2$, получим 0. Итак, $\{0, 1\} \subseteq [\{f_1, f_2\}]$
+  
+   По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/12#Лемма|лемме о немонотонной функции]], $\bar x \in [\{f_4, 0, 1\}]$
+   По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/14#Лемма|лемме о нелинейной функции]], $xy \in [\{f_5, 0, 1, \bar x\}]$
+   
+   Таким  образом, $\bar x$ и $xy$ суперпозиции из $\{f_1, f_2, f_4, f_5\}$
+В обоих случаях $\set{\bar x, xy} \subseteq [\set{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5}] \subseteq [A]$
+Множество $\set{\bar x, xy}$ - полная система. По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9#Теорема|теореме сведения]] множество A - тоже полная система
+
+# Шефферовы функции
+- **Шефферова функция** - $[\{f\}] = P_2$, т.е. функция, множество из одной такой функции являющееся полной системой ^27f049
+
+## Примеры
+- $\overline{x_1x_2 \dots x_n}$ при $b \ge 2$
+Единственные Шеферовы функции от 2х переменных:
+- $x | y$
+- $x \downarrow y$

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/16.md

@@ -0,0 +1,24 @@
+	Предполные классы. Теорема о 5 предполных классах
+
+# Предполные классы
+1. класс, являющийся полным полным только при добавлении любой новой функции
+2. максимальное по отношению включения неполное множество
+
+# Теорема о 5 предполных классах
+## Теорема
+Существует ровно 5 предполных классов: $T_0, T_1, S, M, L$
+
+## Доказательство
+НУО, возьмём класс L: $[L] = L \ne P_2$ ([[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9#^ff2b6e|P2]])
+Возьмём функцию $f \notin L$ и рассмотрим множество $L \cup \{f\}$. Если оно не полное, то по [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#Теорема|теореме Поста]] оно должно быть подмножеством одного из классов $T_0, T_1, S, M$. Но тогда и L будет подмножеством этого класса, а это не так:
+- $L \nsubseteq S$, т.к. $1 \in L - S$
+- $L \nsubseteq M$, $L \nsubseteq T_0$, $L \nsubseteq T_1$, т.к. $\bar x \in L - (M \cup T_0 \cup T_1)$
+Значит, $L \cup \{f\}$ - полное для любой функции f, а значит, L - предпольный класс
+
+Докажем теперь, что других предпольных классов нет:
+Пусть X - предпольный класс, отличный от $T_0, T_1, S, M, L$
+
+По [[#Предполные классы|определению]], множество X не полное, значит, по [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#Теорема|теореме]], оно включено в один из 5 классов
+
+НУО, $X \subseteq S$. Т.к. $X \ne S$, то $\exists f \in S, f \notin X$
+Но тогда $X \cup \{f\} \subseteq S$ и по теореме, X не полное, что противоречит определению

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/17.md

@@ -0,0 +1,37 @@
+	Базис. Теорема о размере базиса. * Базис замкнутого класса. Примеры базисов.
+# Базис
+- **Базис** 
+	1. минимальная по включению полная система функций
+	2. полная система, которая перестаёт быть таковой после удаления любой функции
+## Примеры
+- [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#^27f049|Шефферовы функции]]
+- $\set{xy, \bar x}$
+- $\set{x \vee y, \bar x}$
+- $\set{xy, x \oplus y, 1}$
+
+# Теорема о размере базиса
+## Теорема
+Каждый базис содержит не более четырех
+функций.
+
+## Доказательство
+Покажем, что в каждой полной системе содержится полная подсистема не более чем из четырех функций. По [[1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/15#Теорема|теореме Поста]] в любой полной системе имеются функции $f_1 \notin T_0, f_2 \notin T_1, f_3 \notin S, f_4 \notin M, f_5 \notin L$
+
+Множество $\set{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5}$ - полная система
+Рассмотрим $f_1$. Т.к. $f_1 \notin T_0$, то $f_1(0, \dots, 0) = 1$
+
+Если $f_1(1, \dots, 1) = 1$, то $f_1 \notin S$, тогда множество $\set{f_1, f_2, f_4, f_5}$ - полная система
+Иначе $f_1 \notin T_1; f_1 \notin M$, тогда $\set{f_1, f_3, f_5}$ - полная система
+
+# Базис замкнутого класса
+- **Базис замкнутого класса** - минимальная по включению система функций Y такая, что $[Y] = X$
+## Примеры
+- $S = [\set{x \bar y \vee x \bar z \vee \bar y \bar z}] = [\set{\bar x, m(x, y, z)}]$
+- $M = [\set{0, 1, xy, x \vee y}]$
+- $L = [\set{x \oplus y, 1}]$
+- $LS = [\set{\overline{x \oplus y \oplus z}}] = [\set{\bar x, l_3(x, y, z)}]$
+- $T_0T_1M = [\set{xy, x \vee y}]$
+
+# Задача
+$\begin{equation*} if(x, y, z) = \begin{cases} y, x = 1\\ z, x = 0 \end{cases} \end{equation*}$
+Доказать, что $T_0T_1 = [\{if\}]$

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/4.md

@@ -5,10 +5,10 @@
 
 # Свойство склейки
 ###### Теорема:
-Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция, причём 𝐴𝑥 и 𝐴 ҧ 𝑥 – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 – тоже импликанта этой функции.
+Пусть 𝐴 – некоторая элементарная конъюнкция, причём $Ax$ и $𝐴 \bar 𝑥$ – импликанты функции 𝑓. Тогда 𝐴 – тоже импликанта этой функции.
 ###### Доказательство
 Поскольку $Ax$ и $A\bar x$ - импликанты функций f, $Ax \rightarrow f = 1$ и $A\bar x \rightarrow f = 1$
 Тогда $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = 1$
 $(Ax \rightarrow f) \wedge (A\bar x \rightarrow f) = (\overline{Ax} \vee f) \wedge (\overline{A\bar x} \vee f) = (\overline{Ax} \wedge \overline{A\bar x}) \vee f = \overline{(Ax \vee A\bar x)} \vee f = (Ax \vee A\bar x) \rightarrow f = A(x \vee \bar x) = A \rightarrow f = 1$
 # Сокращённая ДНФ
-\- дизъюнкция всех простых испликант функции
+\- дизъюнкция всех простых [[#Импликанта|импликант]] функции

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/6.md

@@ -1,12 +1,12 @@
 	Алгебра Жегалкина. Свойства операции ⊕. Полиномы Жегалкина. Единственность полинома Жегалкина.
 
-# **Алгебра Жегалкина**
+# Алгебра Жегалкина
 \- алгебраическая система для описания логических функций
    1. Используются константы, конъюнкция и Сумма по модулю 2
    2. Нет отрицания
-   3. $<\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}>$ - поле наименьшего размера
+   3. <$\{0,1\},\{\oplus,\wedge,0,1\}$> - поле наименьшего размера
 
-# Свойства $\oplus$:
+# Свойства $\oplus$
 - $x\oplus 0 = x$
 - $x \oplus x = 0$, $x \oplus \bar x = 1$
 - **Коммутативность**: $x \oplus y = y \oplus x$
@@ -21,10 +21,10 @@
    4. 0 - полином, но не слагаемое
 
 # Единственность полинома Жегалкина
-###### Теорема.
+## Теорема
 Для любой логической функции существует единственный представляющий её полином.
 
-###### Доказательство:
+## Доказательство
 f - логическая функция
 P(f) - её полином
 

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/7.md

@@ -15,4 +15,4 @@
 
 Пусть $\exists$ вершина b так, что $(b,a) \in E$ , тогда вершина
 - не принадлежит P, иначе цикл
-- имеет номер, иначе есть путь больше P ^0f0cfe
+- имеет номер, иначе есть путь больше P

1 курс/2 семестр/Дискретка/Билеты/9.md

@@ -21,11 +21,11 @@
 # Свойства замыкания
 - $A \subseteq [A]$
 - $[[A]] = [A]$
-- Если $A \subseteq B$, то $[A] \subseteq [B]$
+- Если $A \subseteq B$, то $[A] \subseteq [B]$ ^02f9e1
 
 # Полная система функций
 $P_2$ - класс всех логических функций
-**Полная система** функций - 
+**Полная система** функций -  ^ff2b6e
 1. множество функций, где любая функция является суперпозицией функций из этого множества
 2. множество A, что $[A] = P_2$